Model Answer
0 min readIntroduction
बैक-स्कोल्स विकल्प मूल्य-निर्धारण मॉडल (Black-Scholes Option Pricing Model) वित्तीय इंजीनियरिंग में एक महत्वपूर्ण उपकरण है, जिसका उपयोग यूरोपीय शैली के विकल्पों (European-style options) के मूल्य का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है। 1973 में फिशर ब्लैक और मायरन स्कोल्स द्वारा विकसित यह मॉडल, वित्तीय बाजारों में जोखिम प्रबंधन और निवेश निर्णयों में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यह मॉडल इस मान्यता पर आधारित है कि विकल्पों का मूल्य अंतर्निहित परिसंपत्ति की कीमत, स्ट्राइक मूल्य, समय, जोखिम-मुक्त ब्याज दर और अंतर्निहित परिसंपत्ति की अस्थिरता जैसे कारकों पर निर्भर करता है। हाल के वर्षों में, इस मॉडल की कुछ सीमाओं के कारण इसमें संशोधन किए गए हैं, लेकिन यह अभी भी विकल्प मूल्य निर्धारण का एक आधारभूत मॉडल बना हुआ है।
बैक-स्कोल्स मॉडल की व्याख्या
बैक-स्कोल्स मॉडल एक गणितीय सूत्र है जो यूरोपीय कॉल और पुट विकल्पों के सैद्धांतिक मूल्य की गणना करता है। मॉडल निम्नलिखित मान्यताओं पर आधारित है:
- बाजार कुशल है।
- अंतर्निहित परिसंपत्ति की कीमत एक ज्यामितीय ब्राउनियन गति का अनुसरण करती है।
- कोई लाभांश नहीं दिया जाता है।
- जोखिम-मुक्त ब्याज दर स्थिर है।
- कोई लेनदेन लागत या कर नहीं हैं।
- विकल्प यूरोपीय शैली के हैं (केवल समाप्ति तिथि पर ही प्रयोग किया जा सकता है)।
मॉडल का सूत्र इस प्रकार है:
C = S * N(d1) - X * e-rT * N(d2)
जहां:
- C = कॉल विकल्प का मूल्य
- S = अंतर्निहित परिसंपत्ति की वर्तमान कीमत
- X = स्ट्राइक मूल्य
- r = जोखिम-मुक्त ब्याज दर
- T = समाप्ति का समय (वर्षों में)
- N = संचयी सामान्य वितरण फलन
- e = प्राकृतिक लघुगणक का आधार
- d1 और d2 जटिल गणनाएँ हैं जो उपरोक्त कारकों पर निर्भर करती हैं।
बैक-स्कोल्स मॉडल के उपयोग
बैक-स्कोल्स मॉडल के कई उपयोग हैं, जिनमें शामिल हैं:
- विकल्प मूल्य निर्धारण: मॉडल का प्राथमिक उपयोग यूरोपीय विकल्पों के उचित मूल्य का निर्धारण करना है।
- जोखिम प्रबंधन: मॉडल का उपयोग पोर्टफोलियो में विकल्पों के जोखिम को मापने और प्रबंधित करने के लिए किया जा सकता है।
- हेजिंग: मॉडल का उपयोग विकल्पों का उपयोग करके अंतर्निहित परिसंपत्ति के जोखिम को हेज करने के लिए किया जा सकता है।
- निवेश निर्णय: मॉडल का उपयोग विकल्पों में निवेश करने या न करने के बारे में निर्णय लेने के लिए किया जा सकता है।
उदाहरण
मान लीजिए कि एक कंपनी के शेयर की वर्तमान कीमत ₹100 है, स्ट्राइक मूल्य ₹110 है, जोखिम-मुक्त ब्याज दर 5% है, समाप्ति का समय 6 महीने है, और अंतर्निहित परिसंपत्ति की अस्थिरता 20% है। बैक-स्कोल्स मॉडल का उपयोग करके, हम कॉल विकल्प के मूल्य की गणना कर सकते हैं। गणना करने पर, विकल्प का मूल्य लगभग ₹8.05 आएगा।
बैक-स्कोल्स मॉडल की सीमाएं
बैक-स्कोल्स मॉडल की कुछ महत्वपूर्ण सीमाएं हैं:
- मान्यताएं: मॉडल की मान्यताएं हमेशा वास्तविक दुनिया में सही नहीं होती हैं। उदाहरण के लिए, बाजार हमेशा कुशल नहीं होते हैं, और अंतर्निहित परिसंपत्ति की कीमत हमेशा एक ज्यामितीय ब्राउनियन गति का अनुसरण नहीं करती है।
- अमेरिकी विकल्प: मॉडल केवल यूरोपीय विकल्पों के लिए उपयुक्त है। अमेरिकी विकल्पों के लिए, जिन्हें समाप्ति से पहले किसी भी समय प्रयोग किया जा सकता है, अधिक जटिल मॉडल की आवश्यकता होती है।
- अस्थिरता: मॉडल अस्थिरता के सटीक अनुमान पर निर्भर करता है, जो प्राप्त करना मुश्किल हो सकता है।
इन सीमाओं के बावजूद, बैक-स्कोल्स मॉडल वित्तीय बाजारों में एक महत्वपूर्ण उपकरण बना हुआ है। मॉडल को अधिक सटीक बनाने के लिए कई संशोधनों का प्रस्ताव किया गया है, लेकिन यह अभी भी विकल्प मूल्य निर्धारण का एक आधारभूत मॉडल है।
Conclusion
बैक-स्कोल्स विकल्प मूल्य-निर्धारण मॉडल वित्तीय बाजारों में एक शक्तिशाली उपकरण है, जो विकल्पों के मूल्य का अनुमान लगाने और जोखिम का प्रबंधन करने में मदद करता है। हालांकि इसकी कुछ सीमाएं हैं, लेकिन यह अभी भी निवेश निर्णयों और वित्तीय इंजीनियरिंग में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। मॉडल की समझ वित्तीय पेशेवरों के लिए आवश्यक है, और इसके अनुप्रयोगों को लगातार विकसित किया जा रहा है ताकि यह वास्तविक दुनिया की जटिलताओं को बेहतर ढंग से प्रतिबिंबित कर सके।
Answer Length
This is a comprehensive model answer for learning purposes and may exceed the word limit. In the exam, always adhere to the prescribed word count.