Model Answer
0 min readIntroduction
काई-वर्ग परीक्षण (Chi-square test) एक गैर-पैरामीट्रिक परीक्षण है जिसका उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि दो श्रेणीबद्ध चर (categorical variables) के बीच कोई महत्वपूर्ण संबंध है या नहीं। यह परीक्षण अवलोकन किए गए आवृत्तियों (observed frequencies) और अपेक्षित आवृत्तियों (expected frequencies) के बीच अंतर को मापता है। जैव आँकड़ों (biostatistics) में, इसका उपयोग आनुवंशिकी, पारिस्थितिकी, और महामारी विज्ञान जैसे क्षेत्रों में व्यापक रूप से किया जाता है। यह परीक्षण डेटा में भिन्नता के कारण होने वाले अंतरों को ध्यान में रखता है, जिससे यह निष्कर्ष निकालने में मदद करता है कि क्या देखे गए अंतर वास्तविक हैं या संयोग से हुए हैं।
काई-वर्ग परीक्षण (Chi-square test) का परिचय
काई-वर्ग परीक्षण एक सांख्यिकीय परीक्षण है जो यह निर्धारित करने के लिए उपयोग किया जाता है कि क्या दो चर के बीच कोई महत्वपूर्ण संबंध है। यह परीक्षण श्रेणीबद्ध डेटा के लिए उपयुक्त है, जिसका अर्थ है कि डेटा को श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है। काई-वर्ग परीक्षण का उपयोग स्वतंत्रता, समांगता और समंजन-सुष्टुता के परीक्षणों के लिए किया जा सकता है।
स्वतंत्रता परीक्षण (Test of Independence)
स्वतंत्रता परीक्षण का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि क्या दो चर एक दूसरे से स्वतंत्र हैं। दूसरे शब्दों में, यह परीक्षण यह निर्धारित करता है कि क्या एक चर का मान दूसरे चर के मान को प्रभावित करता है।
सूत्र:
χ2 = Σ [(Oi - Ei)2 / Ei]
जहां:
- χ2 = काई-वर्ग सांख्यिकी
- Oi = अवलोकन की गई आवृत्ति
- Ei = अपेक्षित आवृत्ति
- Σ = योग
उदाहरण: मान लीजिए कि हम यह जानना चाहते हैं कि क्या लिंग और धूम्रपान के बीच कोई संबंध है। हम 100 लोगों का एक नमूना लेते हैं और प्रत्येक व्यक्ति के लिंग और धूम्रपान की आदत को रिकॉर्ड करते हैं। फिर हम एक आकस्मिक तालिका (contingency table) बनाते हैं जो लिंग और धूम्रपान के बीच संबंधों को दर्शाती है। स्वतंत्रता परीक्षण का उपयोग करके, हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि क्या लिंग और धूम्रपान के बीच कोई महत्वपूर्ण संबंध है।
समांगता परीक्षण (Test of Homogeneity)
समांगता परीक्षण का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि क्या दो या दो से अधिक आबादी के बीच किसी चर के वितरण में कोई अंतर है। दूसरे शब्दों में, यह परीक्षण यह निर्धारित करता है कि क्या विभिन्न आबादी समान वितरण का पालन करती हैं।
सूत्र: स्वतंत्रता परीक्षण के समान
उदाहरण: मान लीजिए कि हम यह जानना चाहते हैं कि क्या विभिन्न क्षेत्रों में मतदाताओं के बीच राजनीतिक दलों के समर्थन में कोई अंतर है। हम प्रत्येक क्षेत्र से मतदाताओं का एक नमूना लेते हैं और प्रत्येक मतदाता के राजनीतिक दल के समर्थन को रिकॉर्ड करते हैं। फिर हम एक आकस्मिक तालिका बनाते हैं जो विभिन्न क्षेत्रों में राजनीतिक दलों के समर्थन को दर्शाती है। समांगता परीक्षण का उपयोग करके, हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि क्या विभिन्न क्षेत्रों में राजनीतिक दलों के समर्थन में कोई महत्वपूर्ण अंतर है।
समंजन-सुष्टुता परीक्षण (Goodness-of-Fit Test)
समंजन-सुष्टुता परीक्षण का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि क्या एक नमूना डेटा एक विशिष्ट वितरण का पालन करता है। दूसरे शब्दों में, यह परीक्षण यह निर्धारित करता है कि क्या नमूना डेटा एक सैद्धांतिक वितरण के अनुरूप है।
सूत्र:
χ2 = Σ [(Oi - Ei)2 / Ei]
जहां:
- χ2 = काई-वर्ग सांख्यिकी
- Oi = अवलोकन की गई आवृत्ति
- Ei = अपेक्षित आवृत्ति
- Σ = योग
उदाहरण: मान लीजिए कि हम यह जानना चाहते हैं कि क्या एक सिक्के को उछालने पर हेड और टेल की संख्या एक समान वितरण का पालन करती है। हम एक सिक्के को 100 बार उछालते हैं और हेड और टेल की संख्या को रिकॉर्ड करते हैं। फिर हम एक समंजन-सुष्टुता परीक्षण का उपयोग करके यह निर्धारित कर सकते हैं कि क्या हेड और टेल की संख्या एक समान वितरण का पालन करती है।
जैव आँकड़ों में काई-वर्ग परीक्षण का उपयोग
जैव आँकड़ों में, काई-वर्ग परीक्षण का उपयोग विभिन्न प्रकार के अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:
- आनुवंशिकी में, यह निर्धारित करने के लिए कि क्या जीन एक दूसरे से जुड़े हुए हैं।
- पारिस्थितिकी में, यह निर्धारित करने के लिए कि क्या विभिन्न प्रजातियों के वितरण में कोई संबंध है।
- महामारी विज्ञान में, यह निर्धारित करने के लिए कि क्या किसी बीमारी के जोखिम कारक हैं।
| परीक्षण का प्रकार | उद्देश्य | डेटा का प्रकार |
|---|---|---|
| स्वतंत्रता परीक्षण | दो चर के बीच संबंध की जांच करना | श्रेणीबद्ध डेटा |
| समांगता परीक्षण | विभिन्न आबादी के बीच वितरण की तुलना करना | श्रेणीबद्ध डेटा |
| समंजन-सुष्टुता परीक्षण | नमूना डेटा की एक विशिष्ट वितरण के साथ तुलना करना | श्रेणीबद्ध डेटा |
Conclusion
काई-वर्ग परीक्षण एक शक्तिशाली सांख्यिकीय उपकरण है जिसका उपयोग जैव आँकड़ों और अन्य क्षेत्रों में श्रेणीबद्ध डेटा का विश्लेषण करने के लिए किया जा सकता है। स्वतंत्रता, समांगता और समंजन-सुष्टुता परीक्षणों के माध्यम से, यह परीक्षण हमें दो चरों के बीच संबंधों को समझने और डेटा में महत्वपूर्ण अंतरों की पहचान करने में मदद करता है। परीक्षण के उचित उपयोग और व्याख्या के लिए इसके सिद्धांतों और अनुप्रयोगों की गहरी समझ आवश्यक है।
Answer Length
This is a comprehensive model answer for learning purposes and may exceed the word limit. In the exam, always adhere to the prescribed word count.