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UPSC MainsMANAGEMENT-PAPER-II201410 Marks

Q3.

Question 3

एक कॉलोनी के 36 से 50 वर्ष की आयु के 200 निवासियों और उसी कॉलोनी के 50 से अधिक वर्ष के 200 निवासियों के बारे में निर्धारण करने के लिए कि दैनिक समाचारों के लिए उनके स्रोत समाचार पत्रों से हैं या कि किसी अन्य स्रोत से हैं एक अध्ययन किया जाता है। 36 से 50 वर्ष के बीच के 200 निवासियों में से 82 निवासियों को समाचार मुख्यतः समाचार-पत्रों से प्राप्त होते थे। 50 वर्ष से अधिक के 200 निवासियों में से 104 निवासियों को समाचार प्राथमिक रूप से समाचार पत्रों से ही मिलते थे। (i) यदि किसी निवासी का चयन यादृच्छिक रूप से किया जाय, तो इस बात की प्रसम्भाव्यता (प्रोबाबिलिटी) क्या होगी कि उसको - (1) समाचार प्राथमिक रूप से समाचार पत्रों से मिलते हैं; (2) समाचार प्राथमिक रूप से समाचार पत्रों से मिलते हैं और वह 50 वर्ष से अधिक का है; (3) समाचार प्राथमिक रूप से समाचार पत्रों से मिलते हैं या वह 50 वर्ष से अधिक का है? (ii) मान लीजिए कि दो निवासियों का चयन किया जाता है। इस बात की प्रसम्भाव्यता क्या होगी कि दोनों को ही समाचार प्राथमिक रूप से समाचार पत्रों से मिलते हैं?

How to Approach

यह प्रश्न प्रायिकता (probability) पर आधारित है और इसमें दिए गए आंकड़ों के आधार पर विभिन्न प्रायिकताओं की गणना करने की आवश्यकता है। इस प्रश्न को हल करने के लिए, हमें प्रायिकता के मूलभूत सिद्धांतों, जैसे कि कुल प्रायिकता का नियम और सशर्त प्रायिकता का उपयोग करना होगा। उत्तर को स्पष्ट और व्यवस्थित तरीके से प्रस्तुत करना महत्वपूर्ण है, जिसमें प्रत्येक भाग के लिए गणनाएँ स्पष्ट रूप से दिखाई दें।

Model Answer

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Introduction

प्रायिकता, किसी घटना के घटित होने की संभावना का मापन है। यह सांख्यिकी और गणित की एक महत्वपूर्ण शाखा है, जिसका उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में निर्णय लेने के लिए किया जाता है। दैनिक जीवन में भी प्रायिकता का उपयोग मौसम के पूर्वानुमान, जोखिम मूल्यांकन और खेल जैसे क्षेत्रों में किया जाता है। इस प्रश्न में, हमें एक कॉलोनी के निवासियों के समाचार प्राप्त करने के स्रोतों के आधार पर प्रायिकता की गणना करनी है, जो कि प्रायिकता के सिद्धांतों के अनुप्रयोग का एक अच्छा उदाहरण है।

(i) प्रायिकता की गणना

सबसे पहले, हमें कुल निवासियों की संख्या ज्ञात करनी होगी, जो कि 200 + 200 = 400 है।

(1) समाचार प्राथमिक रूप से समाचार पत्रों से मिलते हैं इसकी प्रायिकता

समाचार पत्रों से समाचार प्राप्त करने वाले कुल निवासी 82 + 104 = 186 हैं।

इसलिए, प्रायिकता (P(A)) = (समाचार पत्रों से समाचार प्राप्त करने वाले निवासियों की संख्या) / (कुल निवासियों की संख्या) = 186 / 400 = 0.465

(2) समाचार प्राथमिक रूप से समाचार पत्रों से मिलते हैं और वह 50 वर्ष से अधिक का है इसकी प्रायिकता

50 वर्ष से अधिक आयु के और समाचार पत्रों से समाचार प्राप्त करने वाले निवासियों की संख्या 104 है।

इसलिए, प्रायिकता (P(B∩C)) = (50 वर्ष से अधिक आयु के और समाचार पत्रों से समाचार प्राप्त करने वाले निवासियों की संख्या) / (कुल निवासियों की संख्या) = 104 / 400 = 0.26

(3) समाचार प्राथमिक रूप से समाचार पत्रों से मिलते हैं या वह 50 वर्ष से अधिक का है इसकी प्रायिकता

इसके लिए, हमें कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करना होगा: P(A∪C) = P(A) + P(C) - P(A∩C)

यहाँ, P(A) = 0.465 (समाचार पत्रों से समाचार प्राप्त करने की प्रायिकता)

P(C) = (50 वर्ष से अधिक आयु के निवासियों की संख्या) / (कुल निवासियों की संख्या) = 200 / 400 = 0.5

P(A∩C) = 0.26 (समाचार पत्रों से समाचार प्राप्त करने और 50 वर्ष से अधिक आयु होने की प्रायिकता)

इसलिए, P(A∪C) = 0.465 + 0.5 - 0.26 = 0.705

(ii) दो निवासियों का चयन करने की प्रायिकता

मान लीजिए कि दो निवासियों का चयन किया जाता है। इस बात की प्रायिकता क्या होगी कि दोनों को ही समाचार प्राथमिक रूप से समाचार पत्रों से मिलते हैं?

पहली बार समाचार पत्रों से समाचार प्राप्त करने वाले निवासी का चयन करने की प्रायिकता = 186/400

दूसरी बार समाचार पत्रों से समाचार प्राप्त करने वाले निवासी का चयन करने की प्रायिकता (पहले चयन के बाद) = 185/399

इसलिए, दोनों बार समाचार पत्रों से समाचार प्राप्त करने वाले निवासी का चयन करने की प्रायिकता = (186/400) * (185/399) = 0.465 * 0.4636 = 0.2155

Conclusion

संक्षेप में, हमने प्रायिकता के मूलभूत सिद्धांतों का उपयोग करके विभिन्न प्रायिकताओं की गणना की। यह प्रश्न प्रायिकता की अवधारणा को समझने और उसे वास्तविक जीवन की समस्याओं पर लागू करने का एक अच्छा उदाहरण है। प्रायिकता का ज्ञान विभिन्न क्षेत्रों में निर्णय लेने में सहायक होता है, और यह सांख्यिकी और गणित के अध्ययन का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है।

Answer Length

This is a comprehensive model answer for learning purposes and may exceed the word limit. In the exam, always adhere to the prescribed word count.

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Additional Resources

Key Definitions

प्रायिकता (Probability)

प्रायिकता किसी घटना के घटित होने की संभावना का संख्यात्मक माप है। यह 0 से 1 के बीच की एक संख्या होती है, जहाँ 0 का अर्थ है कि घटना असंभव है और 1 का अर्थ है कि घटना निश्चित है।

सशर्त प्रायिकता (Conditional Probability)

किसी घटना A की प्रायिकता, यह देखते हुए कि घटना B पहले से ही घटित हो चुकी है, को सशर्त प्रायिकता कहते हैं। इसे P(A|B) के रूप में दर्शाया जाता है।

Key Statistics

भारत में 2019 तक, लगभग 100 मिलियन से अधिक समाचार पत्र दैनिक रूप से वितरित किए जाते थे।

Source: Press Information Bureau, Government of India (knowledge cutoff 2021)

2023 में, भारत में इंटरनेट उपयोगकर्ताओं की संख्या 83 करोड़ से अधिक थी, जो दुनिया में सबसे अधिक है।

Source: Statista (knowledge cutoff 2023)

Examples

मौसम पूर्वानुमान

मौसम विभाग प्रायिकता का उपयोग करके बारिश की संभावना का पूर्वानुमान लगाता है। उदाहरण के लिए, "कल बारिश की 70% संभावना है" का अर्थ है कि मौसम विभाग के मॉडल के अनुसार, कल बारिश होने की संभावना 70% है।

Frequently Asked Questions

▶सशर्त प्रायिकता क्या है?

सशर्त प्रायिकता एक घटना की प्रायिकता है, यह देखते हुए कि दूसरी घटना पहले से ही घटित हो चुकी है। इसे P(A|B) के रूप में दर्शाया जाता है, जिसका अर्थ है "घटना B के घटित होने पर घटना A की प्रायिकता"।

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