Model Answer
0 min readIntroduction
रैखिक प्रोग्रामिंग (Linear Programming - एल.पी.पी.) एक गणितीय तकनीक है जिसका उपयोग सीमित संसाधनों के साथ किसी उद्देश्य फलन (objective function) को अधिकतम या न्यूनतम करने के लिए किया जाता है। यह तकनीक विभिन्न क्षेत्रों में निर्णय लेने में सहायक होती है, जैसे कि उत्पादन, परिवहन, और वित्त। विनिर्माण फर्मों के लिए, एल.पी.पी. का उपयोग उत्पादन योजना बनाने, संसाधनों का आवंटन करने और लाभ को अधिकतम करने के लिए किया जा सकता है। इस प्रश्न में, एक लघु विनिर्माण फर्म के लिए 'सामान्य' और 'उत्तम' उत्पादों के उत्पादन की इष्टतम संख्या निर्धारित करने के लिए एल.पी.पी. का उपयोग किया जाएगा।
(i) रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का निर्माण
मान लीजिए:
- x = 'सामान्य' उत्पादों की संख्या
- y = 'उत्तम' उत्पादों की संख्या
उद्देश्य फलन (Objective Function): लाभ को अधिकतम करना
Z = 100x + 100y (अधिकतम)
बाधाएँ (Constraints): विभागों की कार्यक्षमता पर आधारित
- ढलाई: 9x + 4y ≤ 36
- वेल्डिंग: x + y ≤ 5
- फिनिशिंग: 4x + 7y ≤ 28
- x ≥ 0, y ≥ 0 (गैर-नकारात्मकता बाधाएँ)
इस प्रकार, रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या इस प्रकार है:
अधिकतम Z = 100x + 100y
बाधाओं के अधीन:
9x + 4y ≤ 36
x + y ≤ 5
4x + 7y ≤ 28
x ≥ 0, y ≥ 0
(ii) अधिकतम प्राप्तव्य मुनाफा मालूम कीजिए
इस समस्या को ग्राफिक विधि या सिम्प्लेक्स विधि (Simplex Method) से हल किया जा सकता है। यहाँ हम ग्राफिक विधि का उपयोग करेंगे:
- बाधाओं को रेखाओं के रूप में ग्राफ पर प्लॉट करें।
- संभाव्य क्षेत्र (feasible region) ज्ञात करें, जो सभी बाधाओं को संतुष्ट करता है।
- संभाव्य क्षेत्र के कोने के बिंदुओं (corner points) को ज्ञात करें।
- प्रत्येक कोने के बिंदु पर उद्देश्य फलन का मान ज्ञात करें।
- वह कोने का बिंदु चुनें जिस पर उद्देश्य फलन का मान अधिकतम हो।
कोने के बिंदु हैं:
- (0, 0): Z = 0
- (4, 0): Z = 400
- (0, 4): Z = 400
- (1, 4): Z = 500
- (2.67, 2.33): Z = 500
अधिकतम लाभ ₹500 है।
(iii) सही उत्पाद मिश्रण क्या होगा?
अधिकतम लाभ ₹500 प्राप्त करने के लिए, दो संभावित उत्पाद मिश्रण हैं:
- x = 1, y = 4 (1 'सामान्य' उत्पाद और 4 'उत्तम' उत्पाद)
- x = 2.67, y = 2.33 (लगभग 2.67 'सामान्य' उत्पाद और 2.33 'उत्तम' उत्पाद)
चूंकि उत्पादों की संख्या पूर्णांक (integer) होनी चाहिए, इसलिए हम x = 2 और y = 2 का चयन कर सकते हैं। इस स्थिति में, Z = 100(2) + 100(2) = 400 होगा। हालांकि, x = 1 और y = 4 अधिक लाभ प्रदान करता है। इसलिए, इष्टतम उत्पाद मिश्रण 1 'सामान्य' उत्पाद और 4 'उत्तम' उत्पाद है।
Conclusion
संक्षेप में, इस लघु विनिर्माण फर्म के लिए अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए, उसे 1 'सामान्य' उत्पाद और 4 'उत्तम' उत्पाद बनाने चाहिए। रैखिक प्रोग्रामिंग एक शक्तिशाली उपकरण है जो फर्मों को सीमित संसाधनों के साथ अपने लाभ को अधिकतम करने में मदद करता है। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि वास्तविक दुनिया की समस्याओं में, बाधाएँ अधिक जटिल हो सकती हैं, और एल.पी.पी. मॉडल को तदनुसार समायोजित करने की आवश्यकता होगी।
Answer Length
This is a comprehensive model answer for learning purposes and may exceed the word limit. In the exam, always adhere to the prescribed word count.