Model Answer
0 min readIntroduction
प्रायिकता सिद्धांत (Probability Theory) में, द्विपद वितरण एक असतत प्रायिकता वितरण है जो n स्वतंत्र परीक्षणों में सफलता की संख्या की प्रायिकता देता है, जहाँ प्रत्येक परीक्षण में सफलता की प्रायिकता p होती है। इस प्रश्न में, उम्मीदवार द्वारा अनुमान लगाए गए 80 प्रश्नों को स्वतंत्र परीक्षण माना जा सकता है, और प्रत्येक प्रश्न में सही उत्तर देने की प्रायिकता 1/4 है। हमें 25 से 30 प्रश्नों के सही उत्तर आने की प्रायिकता ज्ञात करनी है, जो कि द्विपद वितरण का उपयोग करके हल किया जा सकता है।
द्विपद वितरण का उपयोग
माना X उन प्रश्नों की संख्या है जिनके उत्तर उम्मीदवार ने सही दिए हैं, जिन्हें वह नहीं जानता था। X एक द्विपद यादृच्छिक चर है जिसका वितरण B(n, p) है, जहाँ n = 80 (प्रश्नों की संख्या) और p = 1/4 (प्रत्येक प्रश्न के सही उत्तर देने की प्रायिकता)।
प्रायिकता की गणना
हमें P(25 ≤ X ≤ 30) ज्ञात करना है। इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
P(25 ≤ X ≤ 30) = P(X=25) + P(X=26) + P(X=27) + P(X=28) + P(X=29) + P(X=30)
द्विपद वितरण सूत्र है:
P(X=k) = nCk * pk * (1-p)(n-k)
जहाँ nCk = n! / (k! * (n-k)!) है।
सामान्य सन्निकटन (Normal Approximation)
चूंकि n बड़ा है (n=80), हम द्विपद वितरण को सामान्य वितरण से अनुमानित कर सकते हैं। सामान्य वितरण का माध्य (μ) और मानक विचलन (σ) इस प्रकार हैं:
μ = n * p = 80 * (1/4) = 20
σ = √(n * p * (1-p)) = √(80 * (1/4) * (3/4)) = √(15) ≈ 3.87
अब, हम निरंतरता सुधार (Continuity Correction) का उपयोग करते हैं:
P(25 ≤ X ≤ 30) ≈ P(24.5 < Y < 30.5), जहाँ Y एक सामान्य यादृच्छिक चर है जिसका माध्य 20 और मानक विचलन 3.87 है।
Z-स्कोर की गणना
Z-स्कोर का उपयोग करके, हम प्रायिकता को मानक सामान्य वितरण में बदल सकते हैं:
Z1 = (24.5 - 20) / 3.87 ≈ 1.19
Z2 = (30.5 - 20) / 3.87 ≈ 2.72
P(24.5 < Y < 30.5) = P(Z < 2.72) - P(Z < 1.19)
मानक सामान्य वितरण तालिका से:
P(Z < 2.72) ≈ 0.9967
P(Z < 1.19) ≈ 0.8830
इसलिए, P(25 ≤ X ≤ 30) ≈ 0.9967 - 0.8830 ≈ 0.1137
निष्कर्ष
अतः, इस बात की प्रायिकता लगभग 0.1137 है कि उम्मीदवार द्वारा अनुमान लगाए गए 80 प्रश्नों में से 25 से 30 प्रश्नों के उत्तर ठीक हो जाएँगे।
Conclusion
संक्षेप में, द्विपद वितरण और सामान्य सन्निकटन का उपयोग करके, हमने अनुमान लगाया कि उम्मीदवार द्वारा अंदाज़े से उत्तर दिए गए 80 प्रश्नों में से 25 से 30 प्रश्नों के सही उत्तर आने की प्रायिकता लगभग 0.1137 है। यह परिणाम उम्मीदवार की सफलता की संभावना का एक उपयोगी अनुमान प्रदान करता है, खासकर जब उसे प्रश्नों का ज्ञान नहीं है। प्रायिकता सिद्धांत का यह अनुप्रयोग विभिन्न प्रकार की स्थितियों में उपयोगी हो सकता है जहाँ अनिश्चितता शामिल होती है।
Answer Length
This is a comprehensive model answer for learning purposes and may exceed the word limit. In the exam, always adhere to the prescribed word count.