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UPSC MainsMANAGEMENT-PAPER-II20164 Marks

Q2.

प्रबंधक बनने की प्रायिकता और बोनस योजना

X, Y और Z के प्रबंधक बनने की प्रायिकताएँ क्रमशः 4/9, 2/9 और 3/9 हैं। प्रायिकताएँ कि यदि X, Y और Z प्रबंधक बन जाते हैं तो बोनस योजना चालू की जाएगी क्रमशः 3/10, 1/2 और 1/5 हैं। इस बात की क्या प्रायिकता है कि बोनस योजना चालू की जाएगी ? और यदि बोनस योजना चालू की जा चुकी हो, तो इस बात की क्या प्रायिकता है कि नियुक्त किया गया प्रबंधक Y था ?

How to Approach

यह प्रश्न प्रायिकता (Probability) पर आधारित है और इसे हल करने के लिए कुल प्रायिकता प्रमेय (Law of Total Probability) और बेयस प्रमेय (Bayes' Theorem) का उपयोग करना होगा। सबसे पहले, बोनस योजना चालू होने की कुल प्रायिकता ज्ञात करनी होगी, जिसके लिए प्रत्येक प्रबंधक के चुने जाने की प्रायिकता और उसके चुने जाने पर बोनस योजना चालू होने की प्रायिकता का उपयोग किया जाएगा। फिर, यह ज्ञात करना होगा कि यदि बोनस योजना चालू है, तो प्रबंधक Y के चुने जाने की प्रायिकता क्या है। उत्तर को स्पष्ट और तार्किक रूप से प्रस्तुत करना महत्वपूर्ण है।

Model Answer

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Introduction

प्रायिकता सिद्धांत (Probability theory) गणित की वह शाखा है जो अनिश्चित घटनाओं के होने की संभावना का अध्ययन करती है। यह विभिन्न क्षेत्रों जैसे सांख्यिकी, वित्त, विज्ञान और इंजीनियरिंग में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। इस प्रश्न में, हमें यह निर्धारित करने के लिए प्रायिकता का उपयोग करना है कि बोनस योजना चालू होने की संभावना क्या है और यदि यह चालू है, तो प्रबंधक Y के चुने जाने की संभावना क्या है। प्रायिकता की अवधारणा निर्णय लेने और जोखिम का आकलन करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है।

बोनस योजना चालू होने की प्रायिकता

मान लीजिए कि:

X के प्रबंधक बनने की प्रायिकता: P(X) = 4/9
Y के प्रबंधक बनने की प्रायिकता: P(Y) = 2/9
Z के प्रबंधक बनने की प्रायिकता: P(Z) = 3/9

और

यदि X प्रबंधक बनता है तो बोनस योजना चालू होने की प्रायिकता: P(B|X) = 3/10
यदि Y प्रबंधक बनता है तो बोनस योजना चालू होने की प्रायिकता: P(B|Y) = 1/2
यदि Z प्रबंधक बनता है तो बोनस योजना चालू होने की प्रायिकता: P(B|Z) = 1/5

बोनस योजना चालू होने की कुल प्रायिकता (P(B)) कुल प्रायिकता प्रमेय का उपयोग करके ज्ञात की जा सकती है:

P(B) = P(B|X)P(X) + P(B|Y)P(Y) + P(B|Z)P(Z)

P(B) = (3/10)(4/9) + (1/2)(2/9) + (1/5)(3/9)

P(B) = 12/90 + 2/18 + 3/45

P(B) = 12/90 + 10/90 + 6/90

P(B) = 28/90 = 14/45

यदि बोनस योजना चालू है, तो प्रबंधक Y के चुने जाने की प्रायिकता

अब, हमें यह ज्ञात करना है कि यदि बोनस योजना चालू है, तो प्रबंधक Y के चुने जाने की प्रायिकता क्या है, जिसे P(Y|B) से दर्शाया जाता है। इसके लिए बेयस प्रमेय का उपयोग किया जाएगा:

P(Y|B) = [P(B|Y)P(Y)] / P(B)

P(Y|B) = [(1/2)(2/9)] / (14/45)

P(Y|B) = (1/9) / (14/45)

P(Y|B) = (1/9) * (45/14)

P(Y|B) = 5/14

अतः, इस बात की प्रायिकता कि बोनस योजना चालू की जाएगी 14/45 है, और यदि बोनस योजना चालू की जा चुकी हो, तो इस बात की प्रायिकता कि नियुक्त किया गया प्रबंधक Y था 5/14 है।

Conclusion

संक्षेप में, इस प्रश्न को हल करने के लिए कुल प्रायिकता प्रमेय और बेयस प्रमेय का उपयोग किया गया। कुल प्रायिकता प्रमेय का उपयोग करके बोनस योजना चालू होने की प्रायिकता 14/45 ज्ञात की गई, और बेयस प्रमेय का उपयोग करके यह निर्धारित किया गया कि यदि बोनस योजना चालू है, तो प्रबंधक Y के चुने जाने की प्रायिकता 5/14 है। प्रायिकता सिद्धांत का यह अनुप्रयोग विभिन्न प्रबंधकीय निर्णयों में उपयोगी हो सकता है।

Answer Length

This is a comprehensive model answer for learning purposes and may exceed the word limit. In the exam, always adhere to the prescribed word count.

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Additional Resources

Key Definitions

प्रायिकता (Probability)

प्रायिकता किसी घटना के होने की संभावना का मापन है। यह 0 से 1 के बीच की संख्या होती है, जहाँ 0 का अर्थ है कि घटना असंभव है और 1 का अर्थ है कि घटना निश्चित है।

कुल प्रायिकता प्रमेय (Law of Total Probability)

यह प्रमेय हमें किसी घटना की प्रायिकता ज्ञात करने की अनुमति देता है जब घटना कई अलग-अलग तरीकों से हो सकती है। यह सभी संभावित तरीकों से घटना के होने की प्रायिकता का योग है।

Key Statistics

भारत में, 2023 में बीमा क्षेत्र का आकार लगभग 77.8 बिलियन अमेरिकी डॉलर था, और इसमें अगले पांच वर्षों में 12% की चक्रवृद्धि वार्षिक वृद्धि दर (CAGR) से बढ़ने का अनुमान है। (स्रोत: IBEF, 2023)

Source: IBEF (India Brand Equity Foundation), 2023

2022 में, भारत में साइबर अपराधों की संख्या 69,435 थी, जो 2021 की तुलना में 5.9% अधिक थी। (स्रोत: NCRB, 2022)

Source: National Crime Records Bureau (NCRB), 2022

Examples

मौसम पूर्वानुमान

मौसम पूर्वानुमान प्रायिकता सिद्धांत का एक व्यावहारिक उदाहरण है। मौसम विज्ञानी विभिन्न मॉडलों और डेटा का उपयोग करके बारिश होने की संभावना का अनुमान लगाते हैं, जो प्रायिकता पर आधारित होता है।

Frequently Asked Questions

▶बेयस प्रमेय का उपयोग कब किया जाता है?

बेयस प्रमेय का उपयोग तब किया जाता है जब हमें किसी घटना की पूर्व प्रायिकता (prior probability) और कुछ नए साक्ष्य (evidence) के आधार पर उस घटना की पश्च प्रायिकता (posterior probability) ज्ञात करनी होती है।

Topics Covered

गणितसांख्यिकीसंभाव्यता, निर्णय लेना

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