Model Answer
0 min readIntroduction
रैखिक प्रोग्रामिंग (LPP) एक गणितीय तकनीक है जिसका उपयोग सीमित संसाधनों के तहत किसी उद्देश्य फलन को अधिकतम या न्यूनतम करने के लिए किया जाता है। यह संचालन प्रबंधन (operations management) और अर्थशास्त्र (economics) में एक महत्वपूर्ण उपकरण है। इस प्रश्न में, एक कंपनी दो प्रकार की मशीनों का उत्पादन करती है और उसे लाभ को अधिकतम करने के लिए प्रत्येक मशीन की उत्पादन मात्रा निर्धारित करनी है, जबकि श्रम और परीक्षण घंटों की उपलब्धता सीमित है। LPP का उपयोग करके, हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए प्रत्येक मॉडल की कितनी संख्या का उत्पादन किया जाना चाहिए।
समस्या का सूत्रीकरण (Problem Formulation)
मान लीजिए:
- x = डीलक्स मशीनों की संख्या
- y = मानक मशीनों की संख्या
उद्देश्य फलन (Objective Function): लाभ को अधिकतम करना
Z = 450x + 250y (अधिकतम)
बाधाएं (Constraints):
- श्रम बाधा: 18x + 3y ≤ 800
- परीक्षण बाधा: 8x + 4y ≤ 600
- मांग बाधा: y ≥ 150
- गैर-नकारात्मकता बाधा: x ≥ 0, y ≥ 0
ग्राफिक विधि से समाधान (Solution using Graphical Method)
सबसे पहले, बाधाओं को रेखाओं के रूप में ग्राफ पर प्लॉट करें। फिर, व्यवहार्य क्षेत्र (feasible region) निर्धारित करें, जो सभी बाधाओं को संतुष्ट करता है। अंत में, व्यवहार्य क्षेत्र के कोने के बिंदुओं (corner points) पर उद्देश्य फलन का मूल्यांकन करें और वह बिंदु खोजें जो अधिकतम लाभ प्रदान करता है।
बाधाओं को रेखाओं के रूप में प्लॉट करना:
- 18x + 3y = 800 => y = (800 - 18x) / 3
- 8x + 4y = 600 => y = (600 - 8x) / 4 = 150 - 2x
- y = 150
व्यवहार्य क्षेत्र (Feasible Region):
व्यवहार्य क्षेत्र उन सभी बिंदुओं का समूह है जो सभी बाधाओं को संतुष्ट करते हैं। यह रेखाओं द्वारा घिरा हुआ क्षेत्र है। कोने के बिंदु हैं:
- A: (0, 150)
- B: (0, 150)
- C: (44.44, 150)
- D: (20, 110)
- E: (0, 150)
यहाँ, हमें कोने के बिंदुओं की गणना करने के लिए रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को खोजना होगा।
- A: y = 150 और x = 0 का प्रतिच्छेदन बिंदु (0, 150)
- B: 18x + 3y = 800 और y = 150 का प्रतिच्छेदन बिंदु: 18x + 450 = 800 => 18x = 350 => x = 19.44, इसलिए (19.44, 150)
- C: 8x + 4y = 600 और y = 150 का प्रतिच्छेदन बिंदु: 8x + 600 = 600 => 8x = 0 => x = 0, इसलिए (0, 150)
- D: 18x + 3y = 800 और 8x + 4y = 600 को हल करने पर: x = 20, y = 110
उद्देश्य फलन का मूल्यांकन (Evaluating the Objective Function):
| बिंदु (Point) | Z = 450x + 250y |
|---|---|
| A (0, 150) | Z = 450(0) + 250(150) = 37500 |
| B (19.44, 150) | Z = 450(19.44) + 250(150) = 87480 + 37500 = 124980 |
| D (20, 110) | Z = 450(20) + 250(110) = 9000 + 27500 = 36500 |
अधिकतम लाभ बिंदु B (19.44, 150) पर प्राप्त होता है, लेकिन मशीनों की संख्या पूर्णांक होनी चाहिए। इसलिए, हम x = 19 और x = 20 के लिए जाँच करते हैं। x = 19 के लिए, y = (800 - 18*19)/3 = 150.56, जो कि y ≥ 150 को संतुष्ट करता है। x = 20 के लिए, y = (800 - 18*20)/3 = 146.67, जो कि y ≥ 150 को संतुष्ट नहीं करता है। इसलिए, x = 19 और y = 150 सबसे अच्छा पूर्णांक समाधान है।
Z = 450(19) + 250(150) = 8550 + 37500 = 46050
निष्कर्ष (Conclusion)
अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए, कंपनी को प्रत्येक महीने 19 डीलक्स मशीनें और 150 मानक मशीनें का उत्पादन करना चाहिए। इससे अधिकतम लाभ ₹ 46050 प्राप्त होगा।
Conclusion
इस समस्या का समाधान रैखिक प्रोग्रामिंग की शक्ति को दर्शाता है, जो सीमित संसाधनों के तहत इष्टतम निर्णय लेने में मदद करता है। यह कंपनी को अपने उत्पादन स्तरों को इस तरह से समायोजित करने की अनुमति देता है कि लाभ अधिकतम हो सके। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि वास्तविक दुनिया की समस्याओं में, अतिरिक्त बाधाएं और जटिलताएं हो सकती हैं, लेकिन LPP एक शक्तिशाली उपकरण बना रहता है।
Answer Length
This is a comprehensive model answer for learning purposes and may exceed the word limit. In the exam, always adhere to the prescribed word count.