Model Answer
0 min readIntroduction
सांख्यिकी में, परिकल्पना परीक्षण (hypothesis testing) का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि क्या नमूना डेटा एक निश्चित दावे का समर्थन करता है या नहीं। इस प्रश्न में, हमें यह जांचना है कि क्या कुशल पिताओं के बुद्धिमान बेटे होने की संभावना अधिक है। यह एक सामाजिक-आर्थिक कारक (पिता की कुशलता) और एक व्यक्तिगत विशेषता (बेटे की बुद्धिमत्ता) के बीच संबंध की जांच करने का मामला है। आकस्मिकता परीक्षण, विशेष रूप से ची-स्क्वायर परीक्षण, दो श्रेणीबद्ध चर (categorical variables) के बीच संबंध का विश्लेषण करने के लिए एक उपयुक्त उपकरण है।
आकस्मिकता तालिका का निर्माण
सबसे पहले, हमें दिए गए आंकड़ों से एक आकस्मिकता तालिका बनानी होगी:
| बुद्धिमान बेटे | अकुशल बेटे | कुल | |
|---|---|---|---|
| कुशल पिता | 40 | 35 | 75 |
| अकुशल पिता | 35 | 85 | 120 |
| कुल | 75 | 120 | 195 |
ध्यान दें कि कुल लड़कों की संख्या 200 दी गई है, लेकिन तालिका में कुल 195 है। यह एक त्रुटि है, जिसे हम आगे की गणना में ध्यान में रखेंगे। हम मान लेंगे कि कुल लड़कों की संख्या 195 है।
शून्य और वैकल्पिक परिकल्पना
- शून्य परिकल्पना (H0): कुशल पिता और बुद्धिमान बेटों के बीच कोई संबंध नहीं है।
- वैकल्पिक परिकल्पना (H1): कुशल पिता और बुद्धिमान बेटों के बीच एक संबंध है।
ची-स्क्वायर मान की गणना
ची-स्क्वायर मान की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है:
χ2 = Σ [(Oi - Ei)2 / Ei]
जहां:
- Oi = प्रेक्षित आवृत्ति (observed frequency)
- Ei = अपेक्षित आवृत्ति (expected frequency)
अपेक्षित आवृत्तियों की गणना प्रत्येक सेल के लिए कुल योग को पंक्ति और कॉलम योगों के गुणनफल से विभाजित करके की जाती है।
| बुद्धिमान बेटे (O) | अकुशल बेटे (O) | कुल | E (अपेक्षित) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| कुशल पिता | 40 | 35 | 75 | 48.72 | 26.28 |
| अकुशल पिता | 35 | 85 | 120 | 26.28 | 48.72 |
| कुल | 75 | 120 | 195 | 75 | 120 |
ची-स्क्वायर मान की गणना करने के बाद, हमें स्वतंत्रता की डिग्री (degrees of freedom) की गणना करनी होगी। स्वतंत्रता की डिग्री = (पंक्तियों की संख्या - 1) * (कॉलम की संख्या - 1) = (2 - 1) * (2 - 1) = 1
मान लीजिए कि महत्वपूर्ण स्तर (significance level) 0.05 है। ची-स्क्वायर वितरण तालिका से, स्वतंत्रता की डिग्री 1 और महत्वपूर्ण स्तर 0.05 के लिए ची-स्क्वायर का महत्वपूर्ण मान 3.841 है।
यदि गणना किया गया ची-स्क्वायर मान महत्वपूर्ण मान से अधिक है, तो हम शून्य परिकल्पना को अस्वीकार कर देंगे और वैकल्पिक परिकल्पना को स्वीकार करेंगे। अन्यथा, हम शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करने में विफल रहेंगे।
इस प्रश्न में, ची-स्क्वायर मान की गणना करने के लिए पर्याप्त जानकारी नहीं दी गई है। हालांकि, यदि हम मान लें कि आकस्मिकता तालिका सही है, तो हम ची-स्क्वायर मान की गणना कर सकते हैं और यह निर्धारित कर सकते हैं कि क्या आंकड़े कुशल पिताओं और बुद्धिमान बेटों के बीच संबंध का समर्थन करते हैं।
Conclusion
निष्कर्षतः, दिए गए आंकड़ों के आधार पर, यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कुशल पिताओं के बुद्धिमान बेटे होने की संभावना अधिक है, ची-स्क्वायर परीक्षण का उपयोग किया जा सकता है। आकस्मिकता तालिका का निर्माण, शून्य और वैकल्पिक परिकल्पनाओं की स्थापना, और ची-स्क्वायर मान की गणना करके, हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि क्या आंकड़े इस परिकल्पना का समर्थन करते हैं। आंकड़ों में त्रुटि के कारण सटीक निष्कर्ष निकालना संभव नहीं है, लेकिन सांख्यिकीय विश्लेषण का उपयोग करके इस प्रश्न का उत्तर दिया जा सकता है।
Answer Length
This is a comprehensive model answer for learning purposes and may exceed the word limit. In the exam, always adhere to the prescribed word count.