एक विशेष डाटा से प्राप्त दो समाश्रयण रेखाएँ Y = X + 5 और 16X = 9Y – 94 थीं । यदि Y का प्रसरण 16 हो, तो X का प्रसरण ज्ञात कीजिए। साथ ही, X और Y के बीच सहप्रसरण ज्ञात कीजिए ।

समाश्रयण रेखाओं का विश्लेषण

हमें दो समाश्रयण रेखाएँ दी गई हैं:

• Y = X + 5 ...(1)
• 16X = 9Y – 94 ...(2)

समीकरण (2) को Y के रूप में व्यक्त करने पर:

Y = (16X + 94) / 9 ...(3)

समीकरण (1) और (3) दोनों Y को X के फलन के रूप में व्यक्त करते हैं। ये दो समाश्रयण रेखाएँ हैं।

सहप्रसरण (Covariance) और प्रसरण (Variance) की गणना

हम जानते हैं कि समाश्रयण रेखाओं के बीच संबंध इस प्रकार है:

• b_yx = सहप्रसरण (Cov(X,Y)) / प्रसरण (Var(X))
• b_xy = सहप्रसरण (Cov(X,Y)) / प्रसरण (Var(Y))

जहाँ b_yx और b_xy क्रमशः Y पर X का समाश्रयण गुणांक और X पर Y का समाश्रयण गुणांक हैं।

समीकरण (1) से, b_xy = 1

समीकरण (3) से, b_yx = 16/9

इसलिए, हम लिख सकते हैं:

• 1 = Cov(X,Y) / Var(Y)
• 16/9 = Cov(X,Y) / Var(X)

X का प्रसरण ज्ञात करना

हमें Y का प्रसरण दिया गया है, Var(Y) = 16।

पहले समीकरण से, Cov(X,Y) = Var(Y) = 16

अब, दूसरे समीकरण का उपयोग करके:

16/9 = 16 / Var(X)

Var(X) = 16 * (9/16) = 9

X और Y के बीच सहप्रसरण ज्ञात करना

जैसा कि पहले ही गणना की जा चुकी है, सहप्रसरण (Cov(X,Y)) = 16

सारांश

चर	प्रसरण	सहप्रसरण
X	9	16
Y	16	16