Model Answer
0 min readIntroduction
प्रायिकता किसी घटना के होने की संभावना का मापन है। यह 0 से 1 के बीच की संख्या होती है, जहाँ 0 का अर्थ है कि घटना असंभव है और 1 का अर्थ है कि घटना निश्चित है। इस प्रश्न में, हमें दो व्यक्तियों के एक निश्चित समय सीमा के भीतर मिलने की प्रायिकता ज्ञात करनी है, जिसमें प्रत्येक व्यक्ति के लिए अधिकतम प्रतीक्षा समय 10 मिनट है। यह एक वास्तविक जीवन की समस्या है जो समय प्रबंधन और समन्वय से संबंधित है। प्रायिकता सिद्धांत का उपयोग करके, हम इस समस्या का समाधान कर सकते हैं और यह निर्धारित कर सकते हैं कि A और B के मिलने की संभावना कितनी है।
समस्या का विश्लेषण
मान लीजिए कि A, 3:00 बजे से 4:00 बजे के बीच किसी भी समय मिलने आता है। इसी प्रकार, B भी 3:00 बजे से 4:00 बजे के बीच किसी भी समय मिलने आता है। हम समय को मिनटों में मापेंगे, जहाँ 3:00 बजे को 0 मिनट और 4:00 बजे को 60 मिनट माना जाएगा।
अनुकूल परिस्थितियाँ
A और B के मिलने के लिए, B को A के आने के 10 मिनट के भीतर या A के आने के 10 मिनट बाद आना होगा। यदि A, x मिनट पर आता है, तो B को (x-10) मिनट और (x+10) मिनट के बीच आना होगा। हालाँकि, हमें यह सुनिश्चित करना होगा कि B का आने का समय 0 से 60 मिनट के बीच हो। इसलिए, हमें निम्नलिखित सीमाओं पर विचार करना होगा:
- यदि x < 10, तो B को 0 से (x+10) मिनट के बीच आना होगा।
- यदि x > 50, तो B को (x-10) से 60 मिनट के बीच आना होगा।
- यदि 10 ≤ x ≤ 50, तो B को (x-10) से (x+10) मिनट के बीच आना होगा।
ज्यामितीय प्रायिकता का उपयोग
हम इस समस्या को ज्यामितीय प्रायिकता का उपयोग करके हल कर सकते हैं। हम एक आयत बनाएंगे जहाँ x-अक्ष A के आने का समय और y-अक्ष B के आने का समय दर्शाएगा। आयत का क्षेत्रफल 60 x 60 = 3600 वर्ग मिनट होगा।
अब, हमें अनुकूल क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना होगा। यह क्षेत्र उन सभी बिंदुओं (x, y) का प्रतिनिधित्व करेगा जहाँ A और B 10 मिनट के भीतर मिलते हैं। हम इस क्षेत्र को तीन भागों में विभाजित कर सकते हैं:
- भाग 1: 0 ≤ x < 10 के लिए, अनुकूल क्षेत्र एक त्रिभुज होगा जिसका आधार (x+10) और ऊँचाई (x+10) होगी। क्षेत्रफल = 0.5 * (x+10)^2
- भाग 2: 10 ≤ x ≤ 50 के लिए, अनुकूल क्षेत्र एक आयत होगा जिसकी चौड़ाई 20 और ऊँचाई dx होगी। क्षेत्रफल = 20 * dx
- भाग 3: 50 < x ≤ 60 के लिए, अनुकूल क्षेत्र एक त्रिभुज होगा जिसका आधार (60 - (x-10)) और ऊँचाई (60 - (x-10)) होगा। क्षेत्रफल = 0.5 * (70-x)^2
कुल अनुकूल क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हमें इन तीनों भागों के क्षेत्रफलों का समाकलन (integrate) करना होगा।
गणना
अनुकूल क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, हम निम्नलिखित समाकलन का उपयोग करेंगे:
∫010 0.5(x+10)2 dx + ∫1050 20 dx + ∫5060 0.5(70-x)2 dx
इस समाकलन को हल करने पर, हमें अनुकूल क्षेत्रफल 800 वर्ग मिनट प्राप्त होता है।
प्रायिकता का निर्धारण
प्रायिकता = (अनुकूल क्षेत्रफल) / (कुल क्षेत्रफल) = 800 / 3600 = 2/9
इसलिए, A और B के 3:00 बजे और 4:00 बजे के बीच मिलने और एक-दूसरे के लिए 10 मिनट से अधिक इंतजार न करने की प्रायिकता 2/9 है।
Conclusion
संक्षेप में, A और B के बीच 3:00 बजे और 4:00 बजे के बीच मिलने और एक-दूसरे के लिए 10 मिनट से अधिक इंतजार न करने की प्रायिकता 2/9 है। यह प्रायिकता ज्यामितीय प्रायिकता के सिद्धांत का उपयोग करके निर्धारित की गई थी, जिसमें अनुकूल क्षेत्र को कुल क्षेत्र से विभाजित किया गया था। यह समस्या समय प्रबंधन और समन्वय के महत्व को दर्शाती है, और प्रायिकता सिद्धांत का उपयोग करके इस प्रकार की समस्याओं का समाधान किया जा सकता है।
Answer Length
This is a comprehensive model answer for learning purposes and may exceed the word limit. In the exam, always adhere to the prescribed word count.