कॉब-डगलस उत्पादन फलन के साथ क्रियाशील फर्म के लिए विस्तार पथ को व्युत्पन्न कीजिए ।

कॉब-डगलस उत्पादन फलन और विस्तार पथ

कॉब-डगलस उत्पादन फलन को निम्नलिखित समीकरण द्वारा दर्शाया जाता है:

Q = A * K^α * L^β

जहां:

• Q = उत्पादन की मात्रा
• A = कुल कारक उत्पादकता (Total Factor Productivity)
• K = पूंजी की मात्रा
• L = श्रम की मात्रा
• α और β = पूंजी और श्रम के उत्पादन लोच (Elasticity of Production)

विस्तार पथ की व्युत्पन्नता

विस्तार पथ को व्युत्पन्न करने के लिए, हमें पूंजी और श्रम के इष्टतम संयोजन को खोजना होगा जो किसी दिए गए उत्पादन स्तर के लिए लागत को कम करता है। इसके लिए, हमें निम्नलिखित शर्तों को संतुष्ट करना होगा:

• MP_K / P_K = MP_L / P_L (जहां MP_K और MP_L क्रमशः पूंजी और श्रम की सीमांत उत्पादकता हैं, और P_K और P_L क्रमशः पूंजी और श्रम की कीमतें हैं)
• Q = A * K^α * L^β (उत्पादन फलन)

चरण 1: सीमांत उत्पादकता ज्ञात करना

कॉब-डगलस उत्पादन फलन के लिए सीमांत उत्पादकताएँ इस प्रकार हैं:

• MP_K = α * A * K^(α-1) * L^β
• MP_L = β * A * K^α * L^(β-1)

चरण 2: इष्टतम संयोजन के लिए समीकरण स्थापित करना

इष्टतम संयोजन के लिए शर्त का उपयोग करते हुए:

α * A * K^(α-1) * L^β / P_K = β * A * K^α * L^(β-1) / P_L

चरण 3: समीकरण को सरल बनाना

समीकरण को सरल बनाने पर, हमें निम्नलिखित प्राप्त होता है:

K / L = (β * P_K) / (α * P_L)

चरण 4: विस्तार पथ का समीकरण

यह समीकरण विस्तार पथ का प्रतिनिधित्व करता है। यह दर्शाता है कि किसी दिए गए पूंजी और श्रम की कीमतों के लिए, पूंजी और श्रम का अनुपात स्थिर रहेगा, भले ही उत्पादन का स्तर बदल जाए। विस्तार पथ एक सीधी रेखा होती है जो मूल बिंदु से शुरू होती है और जिसका ढलान (β * P_K) / (α * P_L) होता है।

उदाहरण

मान लीजिए कि A = 1, α = 0.5, β = 0.5, P_K = 10, और P_L = 5। तो, विस्तार पथ का समीकरण होगा:

K / L = (0.5 * 10) / (0.5 * 5) = 2

इसका मतलब है कि फर्म को हमेशा पूंजी की मात्रा को श्रम की मात्रा से दोगुना रखना चाहिए। यदि फर्म उत्पादन बढ़ाना चाहती है, तो उसे पूंजी और श्रम दोनों की मात्रा को 2 के अनुपात में बढ़ाना होगा।

उत्पादन स्तर (Q)	पूंजी (K)	श्रम (L)
10	2	1
20	4	2
30	6	3