Model Answer
0 min readIntroduction
रैखिक प्रोग्रामिंग (Linear Programming) एक गणितीय तकनीक है जिसका उपयोग सीमित संसाधनों के तहत किसी उद्देश्य फलन को अधिकतम या न्यूनतम करने के लिए किया जाता है। यह प्रबंधन के क्षेत्र में निर्णय लेने की प्रक्रिया को सुगम बनाता है। वर्तमान प्रश्न में, एक कंपनी दो उत्पादों, 'अल्फा' और 'बीटा' का उत्पादन करती है और सीमित मशीनिंग क्षमता और कुशल श्रम के साथ अधिकतम लाभ प्राप्त करना चाहती है। सिम्प्लेक्स विधि एक पुनरावृत्तीय प्रक्रिया है जिसका उपयोग रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है। यह विधि हमें इष्टतम उत्पाद मिश्रण और अधिकतम लाभ का निर्धारण करने में मदद करेगी।
समस्या का गणितीय निरूपण
मान लीजिए:
- x = अल्फा की इकाइयों की संख्या
- y = बीटा की इकाइयों की संख्या
उद्देश्य फलन (Objective Function):
अधिकतम Z = 6x + 4y (लाभ को अधिकतम करना)
बाधाएं (Constraints):
- x + 2y ≤ 720 (मशीनिंग क्षमता)
- 2x + y ≤ 780 (दक्ष मजदूर)
- x ≤ 320 (अल्फा की बिक्री सीमा)
- x ≥ 0, y ≥ 0 (गैर-नकारात्मकता बाधाएं)
सिम्प्लेक्स विधि का अनुप्रयोग
चरण 1: मानक रूप में रूपांतरण
बाधाओं को समीकरणों में बदलने के लिए स्लैक् चर (Slack Variables) जोड़ें:
- x + 2y + s1 = 720
- 2x + y + s2 = 780
- x + s3 = 320
जहां s1, s2, और s3 स्लैक् चर हैं।
चरण 2: प्रारंभिक सिम्प्लेक्स सारणी (Initial Simplex Tableau)
| आधार चर (Basic Variable) | x | y | s1 | s2 | s3 | RHS (Right Hand Side) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| s1 | 1 | 2 | 1 | 0 | 0 | 720 |
| s2 | 2 | 1 | 0 | 1 | 0 | 780 |
| s3 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 320 |
| Z | -6 | -4 | 0 | 0 | 0 | 0 |
चरण 3: पुनरावृत्तियाँ (Iterations)
सबसे नकारात्मक प्रविष्टि (most negative entry) वाले कॉलम को चुनें (इस मामले में, x)।
RHS को संबंधित कॉलम की प्रविष्टियों से विभाजित करें और न्यूनतम गैर-नकारात्मक अनुपात चुनें। इस मामले में, s3 पिवट पंक्ति होगी (320/1 = 320)।
पिवट तत्व (pivot element) 1 है।
पिवट पंक्ति पर अन्य प्रविष्टियों को शून्य बनाने के लिए पंक्ति संचालन करें।
नई सारणी:
| आधार चर | x | y | s1 | s2 | s3 | RHS |
|---|---|---|---|---|---|---|
| x | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 320 |
| s2 | 0 | 1 | 0 | 1 | -2 | 140 |
| s1 | 0 | 2 | 1 | 0 | -1 | 400 |
| Z | 0 | -4 | 0 | 0 | 6 | 1920 |
अब y कॉलम में सबसे नकारात्मक प्रविष्टि है। s2 पिवट पंक्ति होगी (140/1 = 140)।
नई सारणी:
| आधार चर | x | y | s1 | s2 | s3 | RHS |
|---|---|---|---|---|---|---|
| x | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 320 |
| y | 0 | 1 | 0 | 1 | -2 | 140 |
| s1 | 0 | 0 | 1 | -2 | 1 | 120 |
| Z | 0 | 0 | 0 | 4 | -2 | 2480 |
अब सभी प्रविष्टियाँ गैर-नकारात्मक हैं। यह इष्टतम समाधान है।
चरण 4: इष्टतम समाधान
x = 320, y = 140, Z = 2480
Conclusion
अतः, अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए कंपनी को अल्फा की 320 इकाइयाँ और बीटा की 140 इकाइयाँ उत्पादित करनी चाहिए। इस उत्पाद मिश्रण से अधिकतम लाभ ₹2480 होगा। रैखिक प्रोग्रामिंग एक शक्तिशाली उपकरण है जो सीमित संसाधनों के तहत इष्टतम निर्णय लेने में मदद करता है। यह कंपनी को अपनी उत्पादन योजना को अनुकूलित करने और लाभ को अधिकतम करने में सक्षम बनाता है।
Answer Length
This is a comprehensive model answer for learning purposes and may exceed the word limit. In the exam, always adhere to the prescribed word count.