काई-वर्ग परीक्षण क्या है? स्वतंत्रता, समांगता एवं समंजन सुष्ठुता के परीक्षण हेतु जीव आंकडों का उपयोग करते हुए काई-वर्ग के अभिकलन का विस्तृत विवरण दीजिए ।

काई-वर्ग परीक्षण: एक परिचय

काई-वर्ग परीक्षण एक सांख्यिकीय परीक्षण है जो यह निर्धारित करता है कि क्या दो श्रेणीबद्ध चर के बीच कोई महत्वपूर्ण संबंध है। यह परीक्षण एक शून्य परिकल्पना (null hypothesis) और एक वैकल्पिक परिकल्पना (alternative hypothesis) पर आधारित है। शून्य परिकल्पना यह मानती है कि दो चर के बीच कोई संबंध नहीं है, जबकि वैकल्पिक परिकल्पना यह मानती है कि दो चर के बीच एक संबंध है।

काई-वर्ग परीक्षण के सिद्धांत

काई-वर्ग परीक्षण का मूल सिद्धांत यह है कि यदि प्रेक्षित मूल्यों और अपेक्षित मूल्यों के बीच अंतर बहुत बड़ा है, तो शून्य परिकल्पना को अस्वीकार कर दिया जाता है। अंतर को मापने के लिए काई-वर्ग आँकड़ा (chi-square statistic) का उपयोग किया जाता है। काई-वर्ग आँकड़ा की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

χ² = Σ [(Oᵢ - Eᵢ)² / Eᵢ]

जहां:

• χ² = काई-वर्ग आँकड़ा
• Oᵢ = प्रेक्षित मान
• Eᵢ = अपेक्षित मान
• Σ = योग

स्वतंत्रता परीक्षण (Test of Independence)

स्वतंत्रता परीक्षण का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि क्या दो चर स्वतंत्र हैं या नहीं। दो चर स्वतंत्र होते हैं यदि एक चर का मान दूसरे चर के मान को प्रभावित नहीं करता है। स्वतंत्रता परीक्षण में, एक आकस्मिक तालिका (contingency table) का उपयोग किया जाता है जिसमें दो चर के सभी संभावित संयोजनों के लिए प्रेक्षित मूल्यों को दर्शाया जाता है।

उदाहरण: एक अध्ययन में, यह निर्धारित करने के लिए कि क्या लिंग और धूम्रपान के बीच कोई संबंध है, एक आकस्मिक तालिका का उपयोग किया जा सकता है। तालिका में पुरुषों और महिलाओं की संख्या को धूम्रपान करने वालों और धूम्रपान न करने वालों के रूप में दर्शाया जाएगा।

समांगता परीक्षण (Test of Homogeneity)

समांगता परीक्षण का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि क्या विभिन्न आबादी में एक चर का वितरण समान है या नहीं। समांगता परीक्षण में, प्रत्येक आबादी के लिए प्रेक्षित मूल्यों को दर्शाया जाता है।

उदाहरण: एक अध्ययन में, यह निर्धारित करने के लिए कि क्या विभिन्न क्षेत्रों में मतदाताओं का राजनीतिक रुझान समान है, समांगता परीक्षण का उपयोग किया जा सकता है। प्रत्येक क्षेत्र के लिए मतदाताओं की संख्या को विभिन्न राजनीतिक दलों के प्रति रुझान के रूप में दर्शाया जाएगा।

समंजन सुष्ठुता परीक्षण (Goodness-of-Fit Test)

समंजन सुष्ठुता परीक्षण का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि क्या एक प्रेक्षित वितरण एक अपेक्षित वितरण के अनुरूप है या नहीं। समंजन सुष्ठुता परीक्षण में, प्रेक्षित मूल्यों और अपेक्षित मूल्यों की तुलना की जाती है।

उदाहरण: एक अध्ययन में, यह निर्धारित करने के लिए कि क्या एक सिक्के को उछालने पर चित और पट की संख्या अपेक्षित अनुपात (1:1) के अनुरूप है, समंजन सुष्ठुता परीक्षण का उपयोग किया जा सकता है।

काई-वर्ग के अभिकलन का विस्तृत विवरण

काई-वर्ग के अभिकलन में निम्नलिखित चरण शामिल हैं:

1. शून्य और वैकल्पिक परिकल्पनाओं को परिभाषित करें।
2. आकस्मिक तालिका या अन्य उपयुक्त डेटा संरचना का निर्माण करें।
3. प्रत्येक सेल के लिए अपेक्षित मान की गणना करें।
4. काई-वर्ग आँकड़ा की गणना करें।
5. स्वतंत्रता की डिग्री (degrees of freedom) की गणना करें।
6. एक महत्वपूर्ण स्तर (significance level) चुनें।
7. काई-वर्ग आँकड़ा की तुलना महत्वपूर्ण मान से करें।
8. निष्कर्ष निकालें।