Model Answer
0 min readIntroduction
क्रिस्टलोग्राफी (स्फटिक विज्ञान) में, क्रिस्टल फलकों की दिशा और अभिविन्यास को दर्शाने के लिए मिलर अक्षांक और हरमन मौगन् संकेतन महत्वपूर्ण उपकरण हैं। ये संकेतन क्रिस्टल संरचना के भीतर विशिष्ट समतलों को पहचानने और उनका वर्णन करने में मदद करते हैं। मिलर अक्षांकों को 1839 में विलियम हैलो मिलर द्वारा पेश किया गया था, जबकि हरमन मौगन् संकेतन एक अधिक सामान्य प्रणाली है जो विभिन्न क्रिस्टल प्रणालियों के लिए उपयुक्त है। इन संकेतनों का उपयोग खनिज विज्ञान, सामग्री विज्ञान और भूविज्ञान जैसे क्षेत्रों में क्रिस्टल संरचनाओं के विश्लेषण और व्याख्या के लिए व्यापक रूप से किया जाता है।
मिलर अक्षांक (Miller Indices) का सिद्धांत
मिलर अक्षांक क्रिस्टल फलकों के अभिविन्यास को दर्शाने का एक तरीका है। यह विधि निम्नलिखित चरणों पर आधारित है:
- अवरोधन बिंदु (Interception Points): क्रिस्टल फलक को अक्षों पर अवरोधित करें।
- व्युत्क्रम (Reciprocal): अवरोधन बिंदुओं के व्युत्क्रम लें।
- सरलीकरण (Simplification): व्युत्क्रमों को सबसे छोटे पूर्णांकों के अनुपात में सरल करें।
- संकेतन (Notation): सरल किए गए अनुपात को कोष्ठकों (hkl) में लिखें।
उदाहरण के लिए, यदि एक फलक a-अक्ष को 2 इकाई पर, b-अक्ष को 3 इकाई पर और c-अक्ष को अनंत पर (यानी, c-अक्ष के समानांतर) काटता है, तो मिलर अक्षांक (230) होंगे।
हरमन मौगन् संकेतन (Hermon-Maugán Notation) का सिद्धांत
हरमन मौगन् संकेतन मिलर अक्षांकों का एक सामान्यीकरण है जो सभी सात क्रिस्टल प्रणालियों के लिए उपयुक्त है। यह संकेतन निम्नलिखित तत्वों का उपयोग करता है:
- a, b, c: क्रिस्टल अक्षों की लंबाई।
- α, β, γ: अक्षों के बीच के कोण।
- h, k, l: मिलर अक्षांक।
हरमन मौगन् संकेतन का उपयोग करके, किसी भी क्रिस्टल फलक के अभिविन्यास को सटीक रूप से दर्शाया जा सकता है।
क्रिस्टल फलकों के मिलर अक्षांकों की गणना
दिए गए डेटा के अनुसार, क्रिस्टल फलक a-अक्ष को 2 इकाई की दूरी पर, b-अक्ष को 3 इकाई की दूरी पर काटता है और c-अक्ष के समानांतर है। मिलर अक्षांकों की गणना निम्नलिखित चरणों में की जा सकती है:
- a-अक्ष पर अवरोधन: 2
- b-अक्ष पर अवरोधन: 3
- c-अक्ष पर अवरोधन: ∞ (अनंत, क्योंकि फलक c-अक्ष के समानांतर है)
अब, इन अवरोधनों के व्युत्क्रम लें:
- 1/2
- 1/3
- 0
इन व्युत्क्रमों को सबसे छोटे पूर्णांकों के अनुपात में सरल करें। इसके लिए, सभी व्युत्क्रमों को उनके लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से गुणा करें। 2 और 3 का LCM 6 है। इसलिए:
- (1/2) * 6 = 3
- (1/3) * 6 = 2
- 0 * 6 = 0
इसलिए, मिलर अक्षांक (320) हैं। इसका मतलब है कि क्रिस्टल फलक a-अक्ष को 3 इकाई पर, b-अक्ष को 2 इकाई पर काटता है और c-अक्ष के समानांतर है।
विभिन्न क्रिस्टल प्रणालियों में मिलर अक्षांकों का महत्व
विभिन्न क्रिस्टल प्रणालियों में मिलर अक्षांकों का महत्व अलग-अलग होता है। उदाहरण के लिए:
- घन प्रणाली (Cubic System): घन प्रणाली में, मिलर अक्षांक सीधे फलकों के अभिविन्यास को दर्शाते हैं।
- षट्कोणीय प्रणाली (Hexagonal System): षट्कोणीय प्रणाली में, मिलर अक्षांकों को चार सूचकांकों (hkil) द्वारा दर्शाया जाता है, जहां 'i' एक अतिरिक्त सूचकांक है जो c-अक्ष के साथ फलक के अभिविन्यास को दर्शाता है।
Conclusion
संक्षेप में, मिलर अक्षांक और हरमन मौगन् संकेतन क्रिस्टल फलकों के अभिविन्यास को दर्शाने के लिए महत्वपूर्ण उपकरण हैं। मिलर अक्षांकों की गणना क्रिस्टल फलकों के अक्षों पर अवरोधन बिंदुओं का उपयोग करके की जाती है, जबकि हरमन मौगन् संकेतन एक अधिक सामान्य प्रणाली है जो सभी क्रिस्टल प्रणालियों के लिए उपयुक्त है। इन संकेतनों का उपयोग खनिज विज्ञान, सामग्री विज्ञान और भूविज्ञान जैसे क्षेत्रों में क्रिस्टल संरचनाओं के विश्लेषण और व्याख्या के लिए व्यापक रूप से किया जाता है।
Answer Length
This is a comprehensive model answer for learning purposes and may exceed the word limit. In the exam, always adhere to the prescribed word count.