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UPSC MainsMANAGEMENT-PAPER-I202010 Marks

Q2.

नमूना माध्य विक्रय मूल्य की संभावना

एक महानगर में नए सस्ते घरों का माध्य विक्रय मूल्य ₹ 22,00,000 है । जनसंख्या का मानक विचलन ₹ 2,00,000 है । इस नगर के 81 नए सस्ते घरों की बिक्री का यादृच्छिक नमूना लिया गया है । इस बात की क्या संभावना है कि नमूने का माध्य विक्रय मूल्य ₹ 25,00,000 से ज़्यादा है ?

How to Approach

इस प्रश्न को हल करने के लिए, हमें केंद्रीय सीमा प्रमेय (Central Limit Theorem) का उपयोग करना होगा। हमें नमूना माध्य (sample mean) के वितरण की मानक त्रुटि (standard error) की गणना करनी होगी और फिर z-स्कोर (z-score) की गणना करनी होगी। अंत में, हम z-स्कोर का उपयोग करके संभावना (probability) ज्ञात करेंगे। प्रश्न में दिए गए आंकड़ों का सही उपयोग और केंद्रीय सीमा प्रमेय की समझ महत्वपूर्ण है।

Model Answer

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Introduction

केंद्रीय सीमा प्रमेय (Central Limit Theorem) सांख्यिकी में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है। यह प्रमेय बताता है कि एक बड़ी संख्या में स्वतंत्र यादृच्छिक चर (random variables) का योग लगभग सामान्य रूप से वितरित (normally distributed) होता है, भले ही मूल चर स्वयं सामान्य रूप से वितरित न हों। इस प्रमेय का उपयोग नमूना माध्य के वितरण का विश्लेषण करने और जनसंख्या के बारे में निष्कर्ष निकालने के लिए किया जाता है। इस प्रश्न में, हमें एक महानगर में नए सस्ते घरों के विक्रय मूल्य के नमूने के माध्य के बारे में संभावना ज्ञात करनी है।

नमूना माध्य का वितरण

दिया गया है:

जनसंख्या का माध्य (μ) = ₹ 22,00,000
जनसंख्या का मानक विचलन (σ) = ₹ 2,00,000
नमूना आकार (n) = 81
नमूना माध्य (x̄) = ₹ 25,00,000

केंद्रीय सीमा प्रमेय के अनुसार, नमूना माध्य का वितरण लगभग सामान्य रूप से वितरित होता है, जिसका माध्य जनसंख्या के माध्य के बराबर होता है और मानक विचलन जनसंख्या के मानक विचलन को नमूना आकार के वर्गमूल से विभाजित करने पर प्राप्त होता है। इसे मानक त्रुटि (standard error) कहा जाता है।

मानक त्रुटि की गणना

मानक त्रुटि (SE) = σ / √n = ₹ 2,00,000 / √81 = ₹ 2,00,000 / 9 = ₹ 22,222.22 (लगभग)

z-स्कोर की गणना

z-स्कोर हमें बताता है कि नमूना माध्य जनसंख्या के माध्य से कितने मानक त्रुटियों से दूर है।

z-स्कोर का सूत्र

z = (x̄ - μ) / SE = (₹ 25,00,000 - ₹ 22,00,000) / ₹ 22,222.22 = ₹ 3,00,000 / ₹ 22,222.22 = 13.5 (लगभग)

संभावना की गणना

हमें P(x̄ > ₹ 25,00,000) ज्ञात करना है, जो कि P(z > 13.5) के बराबर है।

z-टेबल (z-table) या सांख्यिकीय सॉफ़्टवेयर का उपयोग करके, हम P(z > 13.5) की संभावना ज्ञात कर सकते हैं। चूंकि z-स्कोर बहुत अधिक है (13.5), संभावना लगभग शून्य (0) होगी। इसका मतलब है कि नमूने का माध्य ₹ 25,00,000 से अधिक होने की संभावना बहुत कम है।

वास्तव में, z-टेबल में 3.49 से अधिक z-स्कोर के लिए संभावना 0.0002 से कम होती है। इसलिए, z = 13.5 के लिए संभावना व्यावहारिक रूप से शून्य है।

Conclusion

इस प्रश्न के अनुसार, महानगर में नए सस्ते घरों के 81 घरों के यादृच्छिक नमूने का माध्य विक्रय मूल्य ₹ 25,00,000 से अधिक होने की संभावना लगभग शून्य है। यह परिणाम केंद्रीय सीमा प्रमेय और नमूना आकार के कारण प्राप्त होता है। उच्च z-स्कोर इंगित करता है कि नमूना माध्य जनसंख्या के माध्य से बहुत दूर है, जो कि एक दुर्लभ घटना है।

Answer Length

This is a comprehensive model answer for learning purposes and may exceed the word limit. In the exam, always adhere to the prescribed word count.

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Additional Resources

Key Definitions

केंद्रीय सीमा प्रमेय (Central Limit Theorem)

केंद्रीय सीमा प्रमेय सांख्यिकी का एक मूलभूत सिद्धांत है जो बताता है कि स्वतंत्र यादृच्छिक चर के योग का वितरण, चाहे मूल वितरण कुछ भी हो, लगभग सामान्य वितरण के रूप में अभिसरित होता है जब चर की संख्या बड़ी होती है।

मानक त्रुटि (Standard Error)

मानक त्रुटि एक नमूना वितरण का मानक विचलन है। यह नमूना माध्य की सटीकता का माप है और जनसंख्या माध्य के अनुमान में त्रुटि की मात्रा को दर्शाता है।

Key Statistics

भारत में 2022 में शहरी आबादी लगभग 35.5% थी, जो 2011 में 31.2% से अधिक थी। (स्रोत: विश्व बैंक डेटा, 2023)

Source: विश्व बैंक डेटा, 2023

2021 में भारत में आवास की मांग 4.7 लाख इकाइयों की थी, जो 2020 की तुलना में 20% अधिक थी। (स्रोत: ANAROCK प्रॉपर्टी कंसल्टेंट्स)

Source: ANAROCK प्रॉपर्टी कंसल्टेंट्स, 2021

Examples

चुनाव सर्वेक्षण

चुनाव सर्वेक्षण में, विभिन्न क्षेत्रों से यादृच्छिक रूप से चुने गए मतदाताओं के नमूने का उपयोग करके चुनाव परिणामों का अनुमान लगाया जाता है। केंद्रीय सीमा प्रमेय यह सुनिश्चित करता है कि नमूना परिणाम जनसंख्या के वास्तविक परिणामों का प्रतिनिधित्व करते हैं, भले ही प्रत्येक व्यक्ति की राय अलग-अलग हो।

Frequently Asked Questions

▶नमूना आकार का महत्व क्या है?

नमूना आकार जितना बड़ा होगा, नमूना माध्य जनसंख्या माध्य के उतना ही करीब होगा। केंद्रीय सीमा प्रमेय के अनुसार, बड़े नमूना आकार के साथ नमूना माध्य का वितरण अधिक सामान्य होगा, जिससे अधिक सटीक अनुमान प्राप्त होंगे।

Topics Covered

StatisticsEconomicsSamplingMeanProbability

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