Model Answer
0 min readIntroduction
न्यूनतम वर्ग रेखीय प्रतिगमन (Least Squares Linear Regression) एक सांख्यिकीय विधि है जिसका उपयोग दो चरों के बीच संबंध को मॉडल करने के लिए किया जाता है। यह विधि डेटा बिंदुओं और एक सीधी रेखा के बीच के अंतरों के वर्गों को कम करके सबसे उपयुक्त रेखा खोजने का प्रयास करती है। यह विधि पूर्वानुमान लगाने, रुझानों की पहचान करने और चरों के बीच संबंधों को समझने के लिए व्यापक रूप से उपयोग की जाती है। प्रबंधन में, यह बिक्री पूर्वानुमान, लागत विश्लेषण और संसाधन आवंटन जैसे क्षेत्रों में महत्वपूर्ण है। इस मॉडल का उपयोग करके, हम डेटा के आधार पर एक समीकरण स्थापित कर सकते हैं जो हमें भविष्य के मूल्यों का अनुमान लगाने में मदद करता है।
न्यूनतम वर्ग रेखीय प्रतिगमन मॉडल की अवधारणा
न्यूनतम वर्ग रेखीय प्रतिगमन मॉडल का उद्देश्य एक स्वतंत्र चर (independent variable) और एक आश्रित चर (dependent variable) के बीच एक रेखीय संबंध स्थापित करना है। मॉडल को निम्नलिखित समीकरण द्वारा दर्शाया जाता है:
y = a + bx
जहां:
- y आश्रित चर है
- x स्वतंत्र चर है
- a y-अवरोधन (y-intercept) है
- b ढलान (slope) है
मॉडल की गणना
न्यूनतम वर्ग विधि का उपयोग करके a और b के मानों की गणना की जाती है। इसके लिए, हमें डेटा बिंदुओं और रेखा के बीच के अंतरों के वर्गों को कम करना होता है। यह निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करके किया जाता है:
b = Σ[(xi - x̄)(yi - ȳ)] / Σ[(xi - x̄)²]
a = ȳ - bx̄
जहां:
- xi और yi डेटा बिंदु हैं
- x̄ और ȳ स्वतंत्र और आश्रित चरों के माध्य हैं
- Σ योग का प्रतीक है
डेटा के आधार पर मॉडल का निर्धारण
मान लीजिए हमारे पास निम्नलिखित डेटा है:
| x (स्वतंत्र चर) | y (आश्रित चर) |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 5 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
सबसे पहले, x̄ और ȳ की गणना करें:
x̄ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) / 5 = 3
ȳ = (2 + 4 + 5 + 4 + 5) / 5 = 4
अब, b की गणना करें:
b = Σ[(xi - x̄)(yi - ȳ)] / Σ[(xi - x̄)²]
b = [(-2)(-2) + (-1)(0) + (0)(1) + (1)(0) + (2)(1)] / [(-2)² + (-1)² + (0)² + (1)² + (2)²]
b = (4 + 0 + 0 + 0 + 2) / (4 + 1 + 0 + 1 + 4) = 6 / 10 = 0.6
अब, a की गणना करें:
a = ȳ - bx̄ = 4 - 0.6 * 3 = 4 - 1.8 = 2.2
इसलिए, न्यूनतम वर्ग रेखीय प्रतिगमन मॉडल है:
y = 2.2 + 0.6x
यह मॉडल डेटा के आधार पर y और x के बीच संबंध को दर्शाता है। इस मॉडल का उपयोग भविष्य के मूल्यों का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि x = 6 है, तो y = 2.2 + 0.6 * 6 = 5.8 होगा।
Conclusion
संक्षेप में, न्यूनतम वर्ग रेखीय प्रतिगमन मॉडल एक शक्तिशाली सांख्यिकीय उपकरण है जो दो चरों के बीच संबंध को मॉडल करने और भविष्य के मूल्यों का अनुमान लगाने में मदद करता है। मॉडल की गणना के लिए, हमें डेटा बिंदुओं के माध्य और अंतरों के वर्गों का उपयोग करना होता है। यह मॉडल प्रबंधन के विभिन्न क्षेत्रों में उपयोगी है, जैसे कि पूर्वानुमान, लागत विश्लेषण और संसाधन आवंटन। डेटा विश्लेषण में इसकी सटीकता और उपयोगिता इसे एक महत्वपूर्ण उपकरण बनाती है।
Answer Length
This is a comprehensive model answer for learning purposes and may exceed the word limit. In the exam, always adhere to the prescribed word count.