Model Answer
0 min readIntroduction
केंद्रीय सीमा प्रमेय (Central Limit Theorem) सांख्यिकी में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है। यह प्रमेय बताता है कि स्वतंत्र यादृच्छिक चर (independent random variables) के किसी भी नमूने के माध्य का वितरण लगभग सामान्य वितरण (normal distribution) होगा, भले ही मूल चर का वितरण सामान्य न हो। यह प्रमेय हमें जनसंख्या के बारे में निष्कर्ष निकालने के लिए नमूना डेटा का उपयोग करने की अनुमति देता है। इस प्रश्न में, हमें एक महानगर में नए सस्ते घरों के विक्रय मूल्य के बारे में जानकारी दी गई है और नमूना माध्य के एक निश्चित मान से अधिक होने की संभावना ज्ञात करने के लिए कहा गया है।
समस्या का विवरण
एक महानगर में नए सस्ते घरों का माध्य विक्रय मूल्य ₹ 22,00,000 है। जनसंख्या का मानक विचलन ₹ 2,00,000 है। इस नगर के 81 नए सस्ते घरों की बिक्री का यादृच्छिक नमूना लिया गया है। हमें यह ज्ञात करना है कि नमूने का माध्य विक्रय मूल्य ₹ 25,00,000 से ज़्यादा होने की क्या संभावना है।
उपयोग किए जाने वाले सूत्र और अवधारणाएँ
- केंद्रीय सीमा प्रमेय (Central Limit Theorem): नमूना माध्य का वितरण लगभग सामान्य होता है।
- नमूना माध्य का मानक विचलन (Standard Error): σ / √n, जहाँ σ जनसंख्या का मानक विचलन है और n नमूना आकार है।
- Z-स्कोर: (x - μ) / (σ / √n), जहाँ x नमूना माध्य है, μ जनसंख्या माध्य है, σ जनसंख्या का मानक विचलन है, और n नमूना आकार है।
गणना
- नमूना माध्य का मानक विचलन (Standard Error) ज्ञात करना:
- Z-स्कोर की गणना करना:
- संभावना ज्ञात करना:
मानक विचलन (σ) = ₹ 2,00,000
नमूना आकार (n) = 81
मानक त्रुटि (Standard Error) = ₹ 2,00,000 / √81 = ₹ 2,00,000 / 9 = ₹ 22,222.22 (लगभग)
नमूना माध्य (x) = ₹ 25,00,000
जनसंख्या माध्य (μ) = ₹ 22,00,000
Z = (₹ 25,00,000 - ₹ 22,00,000) / ₹ 22,222.22 = ₹ 3,00,000 / ₹ 22,222.22 = 13.5 (लगभग)
हमें P(X > ₹ 25,00,000) ज्ञात करना है, जो कि P(Z > 13.5) के बराबर है। सामान्य वितरण तालिका (normal distribution table) का उपयोग करके, हम देखते हैं कि Z = 13.5 के लिए संभावना लगभग 0 है। इसका मतलब है कि नमूना माध्य के ₹ 25,00,000 से अधिक होने की संभावना बहुत कम है।
निष्कर्ष
नमूने का माध्य विक्रय मूल्य ₹ 25,00,000 से ज़्यादा होने की संभावना लगभग 0 है। यह दर्शाता है कि ₹ 25,00,000 का नमूना माध्य प्राप्त करना अत्यंत दुर्लभ है, यह देखते हुए कि जनसंख्या माध्य ₹ 22,00,000 है और मानक विचलन ₹ 2,00,000 है।
Conclusion
इस समस्या को हल करने के लिए केंद्रीय सीमा प्रमेय और Z-स्कोर की अवधारणाओं का उपयोग किया गया। गणना से पता चलता है कि नमूना माध्य के ₹ 25,00,000 से अधिक होने की संभावना नगण्य है। यह परिणाम सांख्यिकीय विश्लेषण में नमूना आकार और मानक विचलन के महत्व को दर्शाता है। भविष्य में, इस प्रकार के विश्लेषण का उपयोग आवास बाजार के रुझानों को समझने और नीतिगत निर्णय लेने में किया जा सकता है।
Answer Length
This is a comprehensive model answer for learning purposes and may exceed the word limit. In the exam, always adhere to the prescribed word count.