Model Answer
0 min readIntroduction
न्यूनतम वर्ग रेखीय प्रतिगमन (Least Squares Linear Regression) एक सांख्यिकीय विधि है जिसका उपयोग दो चरों के बीच संबंध को मॉडल करने के लिए किया जाता है। यह विधि डेटा बिंदुओं और प्रतिगमन रेखा के बीच के अंतरों के वर्गों को कम करके सबसे उपयुक्त रेखा खोजने का प्रयास करती है। यह विधि पूर्वानुमान लगाने, रुझानों का विश्लेषण करने और चरों के बीच संबंधों को समझने में उपयोगी है। प्रबंधन में, इसका उपयोग लागत विश्लेषण, मांग पूर्वानुमान और प्रदर्शन मूल्यांकन जैसे विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है। इस मॉडल को निर्धारित करने के लिए, हमें डेटा बिंदुओं को ध्यान में रखते हुए एक समीकरण स्थापित करना होता है जो त्रुटियों को न्यूनतम करता है।
न्यूनतम वर्ग रेखीय प्रतिगमन मॉडल की अवधारणा
न्यूनतम वर्ग रेखीय प्रतिगमन मॉडल एक सांख्यिकीय तकनीक है जिसका उपयोग एक आश्रित चर (dependent variable) और एक या अधिक स्वतंत्र चरों (independent variables) के बीच रैखिक संबंध स्थापित करने के लिए किया जाता है। इसका उद्देश्य एक ऐसी रेखा (या सतह) खोजना है जो डेटा बिंदुओं के सबसे करीब हो, जिससे त्रुटियों का योग न्यूनतम हो।
मॉडल का निर्धारण
मान लीजिए हमारे पास n डेटा बिंदु हैं, जिनमें प्रत्येक बिंदु में एक स्वतंत्र चर (x) और एक आश्रित चर (y) का मान है। हम एक रैखिक समीकरण स्थापित करना चाहते हैं:
y = a + bx
जहां 'a' इंटरसेप्ट (intercept) है और 'b' ढलान (slope) है। न्यूनतम वर्ग विधि का उपयोग करके, हम 'a' और 'b' के मानों को इस प्रकार निर्धारित करते हैं कि डेटा बिंदुओं और प्रतिगमन रेखा के बीच के अंतरों के वर्गों का योग न्यूनतम हो।
गणना के चरण
- x और y के माध्य (mean) की गणना करें:
- x̄ = (Σxi) / n
- Ȳ = (Σyi) / n
- ढलान (b) की गणना करें:
- इंटरसेप्ट (a) की गणना करें:
b = Σ[(xi - x̄)(yi - Ȳ)] / Σ[(xi - x̄)²]
a = Ȳ - bx̄
उदाहरण
मान लीजिए हमारे पास निम्नलिखित डेटा है:
| x | y |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 5 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
उपरोक्त चरणों का पालन करके, हम 'a' और 'b' के मानों की गणना कर सकते हैं और प्रतिगमन रेखा को निर्धारित कर सकते हैं।
डेटा के आधार पर मॉडल का निर्धारण
डेटा के आधार पर मॉडल को निर्धारित करने के लिए, हमें पहले डेटा को प्लॉट करना चाहिए और चरों के बीच संबंध का निरीक्षण करना चाहिए। यदि संबंध रैखिक है, तो हम न्यूनतम वर्ग रेखीय प्रतिगमन मॉडल का उपयोग कर सकते हैं। यदि संबंध गैर-रैखिक है, तो हमें एक अलग मॉडल का उपयोग करने की आवश्यकता हो सकती है।
मॉडल का मूल्यांकन
मॉडल को निर्धारित करने के बाद, हमें इसकी सटीकता का मूल्यांकन करना चाहिए। इसके लिए, हम R-squared मान, मानक त्रुटि और अन्य सांख्यिकीय उपायों का उपयोग कर सकते हैं। R-squared मान बताता है कि मॉडल डेटा में भिन्नता का कितना प्रतिशत समझाता है। मानक त्रुटि मॉडल की भविष्यवाणी की सटीकता को मापता है।
Conclusion
न्यूनतम वर्ग रेखीय प्रतिगमन मॉडल एक शक्तिशाली सांख्यिकीय उपकरण है जिसका उपयोग दो चरों के बीच संबंध को मॉडल करने के लिए किया जा सकता है। मॉडल को निर्धारित करने के लिए, हमें डेटा बिंदुओं को ध्यान में रखते हुए एक समीकरण स्थापित करना होता है जो त्रुटियों को न्यूनतम करता है। मॉडल की सटीकता का मूल्यांकन करना भी महत्वपूर्ण है ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि यह विश्वसनीय परिणाम प्रदान करता है। प्रबंधन में, इस मॉडल का उपयोग विभिन्न निर्णय लेने की प्रक्रियाओं में किया जा सकता है।
Answer Length
This is a comprehensive model answer for learning purposes and may exceed the word limit. In the exam, always adhere to the prescribed word count.