Model Answer
0 min readIntroduction
कोविड-19 महामारी के दौरान जन स्वास्थ्य जागरूकता फैलाना एक महत्वपूर्ण चुनौती थी। सीमित संसाधनों के साथ अधिकतम लोगों तक पहुंचने के लिए, सरकारों और स्वास्थ्य विभागों को प्रभावी विज्ञापन रणनीतियों की आवश्यकता थी। इस संदर्भ में, रैखिक प्रोग्रामिंग एक शक्तिशाली उपकरण है जो संसाधनों का अनुकूलन करने और सर्वोत्तम परिणाम प्राप्त करने में मदद करता है। यह प्रश्न एक विशिष्ट परिदृश्य प्रस्तुत करता है जहां एक राज्य जन स्वास्थ्य विभाग को रेडियो और समाचार-पत्र विज्ञापनों के माध्यम से अधिकतम लोगों तक पहुंचने के लिए एक योजना बनानी है, जबकि कुछ बाधाओं का पालन करना है।
समस्या का गणितीय निरूपण
मान लीजिए:
- x = रेडियो विज्ञापनों की संख्या
- y = समाचार-पत्र विज्ञापनों की संख्या
उद्देश्य फलन (Objective Function):
अधिकतम Z = 3000x + 7000y (अधिकतम लोगों तक पहुंचना)
बाधाएं (Constraints):
- 20000x + 50000y ≤ 4000000 (कुल विज्ञापन बजट)
- x ≥ 10 (कम से कम 10 रेडियो विज्ञापन)
- y ≥ 10 (कम से कम 10 समाचार-पत्र विज्ञापन)
- x ≤ y (रेडियो विज्ञापनों की संख्या समाचार-पत्र विज्ञापनों की संख्या से कम या बराबर)
- x, y ≥ 0 (गैर-नकारात्मकता बाधा)
बाधाओं का सरलीकरण
बजट बाधा को सरल बनाया जा सकता है:
2x + 5y ≤ 400
ग्राफिक विधि से समाधान
अब हम ग्राफिक विधि का उपयोग करके इस समस्या को हल करेंगे। सबसे पहले, हम बाधाओं को ग्राफ पर प्लॉट करेंगे और फिर संभव क्षेत्र (feasible region) की पहचान करेंगे। संभव क्षेत्र वह क्षेत्र है जो सभी बाधाओं को संतुष्ट करता है। फिर, हम उद्देश्य फलन के समोच्च रेखाओं (contour lines) को प्लॉट करेंगे और संभव क्षेत्र में उस बिंदु को ढूंढेंगे जहां उद्देश्य फलन अधिकतम होता है।
बाधाओं को रेखाओं के रूप में प्लॉट करने पर:
- 2x + 5y = 400
- x = 10
- y = 10
- x = y
संभव क्षेत्र के कोने बिंदु (corner points) हैं:
- A (10, 10)
- B (10, 72) - यह बिंदु 2x + 5y ≤ 400 को संतुष्ट नहीं करता है।
- C (100, 10) - यह बिंदु x ≤ y को संतुष्ट नहीं करता है।
- D (10, 10)
- E (x,y) जहाँ x=y और 2x+5y=400, इसलिए 7x=400, x=57.14, y=57.14 (लगभग)
- F (x,y) जहाँ x=10 और x=y, इसलिए x=10, y=10
- G (x,y) जहाँ y=10 और 2x+5y=400, इसलिए 2x=350, x=175 (यह x≥10 को संतुष्ट करता है, लेकिन x≤y को नहीं)
संभव क्षेत्र के कोने बिंदु हैं: (10, 10), (10, 72) (अमान्य), (57.14, 57.14), (10,10)।
अब, हम उद्देश्य फलन Z = 3000x + 7000y का मान प्रत्येक कोने बिंदु पर ज्ञात करेंगे:
| बिंदु | x | y | Z = 3000x + 7000y |
|---|---|---|---|
| A (10, 10) | 10 | 10 | 3000(10) + 7000(10) = 100000 |
| E (57.14, 57.14) | 57.14 | 57.14 | 3000(57.14) + 7000(57.14) = 571400 |
चूंकि 2x + 5y ≤ 400 है, इसलिए (57.14, 57.14) बिंदु मान्य नहीं है। हमें एक ऐसा बिंदु खोजना होगा जो सभी बाधाओं को संतुष्ट करे।
यदि हम x = y लेते हैं, तो 2x + 5x = 400, जिससे 7x = 400, x = 57.14 और y = 57.14 होता है। चूंकि x और y पूर्णांक होने चाहिए, इसलिए हम x = 57 और y = 57 लेते हैं। लेकिन 2(57) + 5(57) = 400 से थोड़ा अधिक है। इसलिए, हमें x और y के मानों को समायोजित करना होगा।
x = 50 और y = 50 लेने पर, 2(50) + 5(50) = 350 ≤ 400। Z = 3000(50) + 7000(50) = 500000।
x = 55 और y = 55 लेने पर, 2(55) + 5(55) = 385 ≤ 400। Z = 3000(55) + 7000(55) = 550000।
x = 56 और y = 56 लेने पर, 2(56) + 5(56) = 392 ≤ 400। Z = 3000(56) + 7000(56) = 560000।
x = 57 और y = 56 लेने पर, 2(57) + 5(56) = 394 ≤ 400। Z = 3000(57) + 7000(56) = 567000।
x = 57 और y = 57 लेने पर, 2(57) + 5(57) = 400। Z = 3000(57) + 7000(57) = 570000।
इसलिए, इष्टतम समाधान x = 57 और y = 57 है, जिससे 570000 लोगों तक पहुंचा जा सकता है।
Conclusion
इस समस्या का इष्टतम समाधान 57 रेडियो विज्ञापन और 57 समाचार-पत्र विज्ञापन का उपयोग करना है, जिससे कुल 570,000 लोगों तक पहुंचा जा सकता है। यह समाधान सभी बाधाओं को संतुष्ट करता है और अधिकतम लोगों तक पहुंचने के उद्देश्य को पूरा करता है। जन स्वास्थ्य विभाग को इस रणनीति को लागू करने पर विचार करना चाहिए ताकि महामारी के दौरान जागरूकता बढ़ाई जा सके। रैखिक प्रोग्रामिंग जैसी तकनीकों का उपयोग करके, सीमित संसाधनों का प्रभावी ढंग से उपयोग किया जा सकता है और सार्वजनिक स्वास्थ्य लक्ष्यों को प्राप्त किया जा सकता है।
Answer Length
This is a comprehensive model answer for learning purposes and may exceed the word limit. In the exam, always adhere to the prescribed word count.