प्रायिकता गणना: निशाना लगाने की समस्या

ए' किसी लक्ष्य पर 5 में से 4 बार निशाना लगा सकता है, 'बी' 4 में से 3 बार एवं 'सी' 3 में से 2 बार निशाना लगा सकता है । प्रायिकता की गणना कीजिए : (A) 'ए', 'बी', 'सी' तीनों निशाना लगा सकते हैं । (B) 'बी' और 'सी' तो निशाना लगा सकते हैं, पर 'ए' चूक सकता है । (C) 'सी' और 'ए' तो निशाना लगा सकते हैं, पर 'बी' चूक सकता है ।

How to Approach

इस प्रश्न को हल करने के लिए प्रायिकता (Probability) के मूल सिद्धांतों का उपयोग करना होगा। हमें प्रत्येक व्यक्ति के लक्ष्य पर निशाना लगाने की प्रायिकता दी गई है, और हमें विभिन्न संयोजनों में निशाना लगाने की प्रायिकता ज्ञात करनी है। हम स्वतंत्र घटनाओं (independent events) के गुणन नियम का उपयोग करेंगे। प्रश्न के तीन भागों को अलग-अलग हल करना होगा, प्रत्येक भाग में अलग-अलग घटनाओं के संयोजन पर विचार करना होगा। उत्तर को स्पष्ट और संक्षिप्त रखना महत्वपूर्ण है, और सभी गणनाओं को सही ढंग से प्रस्तुत करना आवश्यक है।

Model Answer

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Introduction

प्रायिकता किसी घटना के घटित होने की संभावना का मापन है। यह 0 से 1 के बीच की एक संख्या होती है, जहाँ 0 का अर्थ है कि घटना असंभव है और 1 का अर्थ है कि घटना निश्चित है। प्रायिकता का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है, जैसे कि विज्ञान, इंजीनियरिंग, वित्त और खेल। इस प्रश्न में, हमें तीन व्यक्तियों ('ए', 'बी', और 'सी') के लक्ष्य पर निशाना लगाने की प्रायिकता दी गई है, और हमें विभिन्न संयोजनों में निशाना लगाने की प्रायिकता ज्ञात करनी है। प्रायिकता की गणना करने के लिए, हम स्वतंत्र घटनाओं के गुणन नियम का उपयोग करेंगे।

(A) 'ए', 'बी', 'सी' तीनों निशाना लगा सकते हैं

'ए' के निशाना लगाने की प्रायिकता = 4/5
'बी' के निशाना लगाने की प्रायिकता = 3/4
'सी' के निशाना लगाने की प्रायिकता = 2/3
तीनों के निशाना लगाने की प्रायिकता = (4/5) * (3/4) * (2/3) = 24/60 = 2/5 = 0.4

(B) 'बी' और 'सी' तो निशाना लगा सकते हैं, पर 'ए' चूक सकता है

'ए' के चूकने की प्रायिकता = 1 - (4/5) = 1/5
'बी' के निशाना लगाने की प्रायिकता = 3/4
'सी' के निशाना लगाने की प्रायिकता = 2/3
'बी' और 'सी' के निशाना लगाने और 'ए' के चूकने की प्रायिकता = (1/5) * (3/4) * (2/3) = 6/60 = 1/10 = 0.1

(C) 'सी' और 'ए' तो निशाना लगा सकते हैं, पर 'बी' चूक सकता है

'सी' के निशाना लगाने की प्रायिकता = 2/3
'ए' के निशाना लगाने की प्रायिकता = 4/5
'बी' के चूकने की प्रायिकता = 1 - (3/4) = 1/4
'सी' और 'ए' के निशाना लगाने और 'बी' के चूकने की प्रायिकता = (2/3) * (4/5) * (1/4) = 8/60 = 2/15 ≈ 0.133

उपरोक्त गणनाओं से, हम विभिन्न संयोजनों में निशाना लगाने की प्रायिकता ज्ञात कर सकते हैं। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि ये गणनाएँ मानती हैं कि प्रत्येक व्यक्ति का निशाना लगाना स्वतंत्र घटना है।

Conclusion

संक्षेप में, हमने प्रायिकता के मूल सिद्धांतों का उपयोग करके विभिन्न संयोजनों में निशाना लगाने की प्रायिकता की गणना की। 'ए', 'बी', और 'सी' तीनों के निशाना लगाने की प्रायिकता 0.4 है, 'बी' और 'सी' के निशाना लगाने और 'ए' के चूकने की प्रायिकता 0.1 है, और 'सी' और 'ए' के निशाना लगाने और 'बी' के चूकने की प्रायिकता लगभग 0.133 है। यह विश्लेषण विभिन्न परिस्थितियों में निर्णय लेने में मदद कर सकता है।

Answer Length

This is a comprehensive model answer for learning purposes and may exceed the word limit. In the exam, always adhere to the prescribed word count.

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Additional Resources

Key Definitions

प्रायिकता (Probability)

प्रायिकता किसी घटना के घटित होने की संभावना का संख्यात्मक माप है। इसे 0 से 1 के बीच की संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ 0 असंभव घटना को दर्शाता है और 1 निश्चित घटना को दर्शाता है।

स्वतंत्र घटनाएँ (Independent Events)

स्वतंत्र घटनाएँ वे होती हैं जिनमें एक घटना का घटित होना दूसरी घटना के घटित होने की प्रायिकता को प्रभावित नहीं करता है।

Key Statistics

भारत में, 2023 में अपराध दर प्रति 1 लाख जनसंख्या पर 57.8 थी (राष्ट्रीय अपराध रिकॉर्ड ब्यूरो - NCRB)।

Source: NCRB, 2023

भारत में साक्षरता दर 2011 की जनगणना के अनुसार 74.04% थी (शिक्षा मंत्रालय)।

Source: शिक्षा मंत्रालय, 2011

Examples

मौसम पूर्वानुमान

मौसम पूर्वानुमान प्रायिकता पर आधारित होते हैं। उदाहरण के लिए, "कल बारिश होने की 70% संभावना है" का अर्थ है कि मौसम वैज्ञानिकों के मॉडल के अनुसार, कल बारिश होने की संभावना 70% है।

Frequently Asked Questions

▶प्रायिकता का उपयोग कहाँ किया जाता है?

प्रायिकता का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है, जैसे कि बीमा, वित्त, विज्ञान, इंजीनियरिंग, और खेल। इसका उपयोग जोखिम का आकलन करने, भविष्यवाणियां करने और निर्णय लेने में मदद करता है।

Topics Covered

सांख्यिकीगणितप्रायिकतासंयोगविश्लेषण

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