Model Answer
0 min readIntroduction
रैखिक प्रोग्रामिंग (Linear Programming) एक गणितीय तकनीक है जिसका उपयोग सीमित संसाधनों के तहत किसी उद्देश्य फलन (जैसे लागत, लाभ) को अधिकतम या न्यूनतम करने के लिए किया जाता है। यह प्रबंधन, अर्थशास्त्र और इंजीनियरिंग जैसे विभिन्न क्षेत्रों में निर्णय लेने में सहायक है। आलेखीय विधि (Graphical Method) रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करने का एक सरल तरीका है, खासकर जब केवल दो चर शामिल हों। इस विधि में, बाधाओं और उद्देश्य फलन को ग्राफ पर प्लॉट किया जाता है, और व्यवहार्य क्षेत्र की पहचान करके इष्टतम समाधान प्राप्त किया जाता है।
रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का आलेखीय समाधान
दी गई समस्या है:
लागत न्यूनतम करना: C = 5x1 + 6x2
बाधाएं:
- x1 + x2 ≤ 1000
- x1 ≤ 300
- x2 ≥ 150
- x1, x2 ≥ 0
1. बाधाओं को ग्राफ पर प्लॉट करना
सबसे पहले, हम बाधाओं को समीकरणों में बदलते हैं और उन्हें ग्राफ पर प्लॉट करते हैं।
- x1 + x2 = 1000
- x1 = 300
- x2 = 150
- x1 = 0 (y-अक्ष)
- x2 = 0 (x-अक्ष)
इन रेखाओं को ग्राफ पर प्लॉट करने पर, हमें एक व्यवहार्य क्षेत्र (feasible region) प्राप्त होता है जो इन सभी बाधाओं को संतुष्ट करता है।
2. व्यवहार्य क्षेत्र की पहचान करना
व्यवहार्य क्षेत्र वह क्षेत्र है जो सभी बाधाओं को एक साथ संतुष्ट करता है। इस समस्या में, व्यवहार्य क्षेत्र एक चतुर्भुज होगा जिसके कोने के बिंदु निम्नलिखित हैं:
- A (0, 150)
- B (0, 1000)
- C (300, 700)
- D (300, 150)
3. उद्देश्य फलन का मूल्यांकन
अब, हम उद्देश्य फलन C = 5x1 + 6x2 को व्यवहार्य क्षेत्र के प्रत्येक कोने के बिंदु पर मूल्यांकन करते हैं:
| बिंदु | x1 | x2 | C = 5x1 + 6x2 |
|---|---|---|---|
| A (0, 150) | 0 | 150 | 900 |
| B (0, 1000) | 0 | 1000 | 6000 |
| C (300, 700) | 300 | 700 | 5500 |
| D (300, 150) | 300 | 150 | 2400 |
4. इष्टतम समाधान का चयन
सबसे कम लागत वाला बिंदु D (300, 150) है, जहां C = 2400 है। इसलिए, इष्टतम समाधान x1 = 300 और x2 = 150 है, और न्यूनतम लागत 2400 है।
Conclusion
इस आलेखीय विधि से, हमने पाया कि न्यूनतम लागत 2400 प्राप्त करने के लिए x<sub>1</sub> का मान 300 और x<sub>2</sub> का मान 150 होना चाहिए। रैखिक प्रोग्रामिंग एक शक्तिशाली उपकरण है जो सीमित संसाधनों के तहत इष्टतम निर्णय लेने में मदद करता है। यह विधि विशेष रूप से उन समस्याओं के लिए उपयोगी है जिनमें दो चर शामिल होते हैं, लेकिन अधिक जटिल समस्याओं के लिए सिम्प्लेक्स विधि (Simplex Method) जैसे अन्य तकनीकों का उपयोग किया जा सकता है।
Answer Length
This is a comprehensive model answer for learning purposes and may exceed the word limit. In the exam, always adhere to the prescribed word count.