Model Answer
0 min readIntroduction
कृषि उत्पादन को अधिकतम करने और संसाधनों का कुशलतापूर्वक उपयोग करने के लिए रैखिक प्रोग्रामिंग एक शक्तिशाली उपकरण है। यह तकनीक सीमित संसाधनों (जैसे खाद, कीटनाशक, भूमि) के तहत अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए विभिन्न फसलों के उत्पादन का अनुकूलन करने में मदद करती है। ऐग्रोफार्म्स लिमिटेड की स्थिति में, यह जानना महत्वपूर्ण है कि कंपनी को टमाटर और प्याज की खेती के लिए कितनी भूमि आवंटित करनी चाहिए ताकि लाभ अधिकतम हो सके, जबकि खाद और कीटनाशक की उपलब्धता सीमित है। यह प्रश्न कृषि प्रबंधन और संसाधन आवंटन के सिद्धांतों को समझने का परीक्षण करता है।
समस्या का गणितीय निरूपण
मान लीजिए:
- x = टमाटर की खेती के लिए आवंटित भूमि (एकड़ में)
- y = प्याज की खेती के लिए आवंटित भूमि (एकड़ में)
उद्देश्य फलन (Objective Function): लाभ को अधिकतम करना
Z = 7000x + 2000y
बाधाएं (Constraints):
- खाद की उपलब्धता: 4x + 2y ≤ 600
- कीटनाशक की उपलब्धता: 3x + y ≤ 330
- भूमि की उपलब्धता: x + y ≤ 200
- गैर-नकारात्मकता: x ≥ 0, y ≥ 0
ग्राफिकल विधि से समाधान
इन बाधाओं को ग्राफ पर प्लॉट करके, हम संभावित समाधान क्षेत्र (feasible region) निर्धारित कर सकते हैं। संभावित समाधान क्षेत्र के कोने के बिंदुओं (corner points) पर उद्देश्य फलन का मूल्यांकन करके, हम अधिकतम लाभ प्राप्त करने वाले बिंदु को ढूंढ सकते हैं। कोने के बिंदु हैं:
- (0, 0): Z = 0
- (0, 300): Z = 600,000 (लेकिन यह x + y ≤ 200 की बाधा का उल्लंघन करता है)
- (150, 0): Z = 1,050,000
- (0, 200): Z = 400,000
- (100, 100): Z = 900,000
- (60, 120): Z = 840,000 + 240,000 = 1,080,000
बाधाओं को हल करने पर हमें निम्नलिखित बिंदु प्राप्त होते हैं:
- 4x + 2y = 600 और 3x + y = 330 को हल करने पर, x = 60 और y = 150 प्राप्त होता है।
- 4x + 2y = 600 और x + y = 200 को हल करने पर, x = 100 और y = 100 प्राप्त होता है।
- 3x + y = 330 और x + y = 200 को हल करने पर, x = 130 और y = 70 प्राप्त होता है।
अब, उद्देश्य फलन Z = 7000x + 2000y का मूल्यांकन इन बिंदुओं पर करें:
| बिंदु (x, y) | Z = 7000x + 2000y |
|---|---|
| (0, 0) | 0 |
| (150, 0) | 1,050,000 |
| (0, 200) | 400,000 |
| (100, 100) | 900,000 |
| (60, 150) | 420,000 + 300,000 = 720,000 |
| (130, 70) | 910,000 + 140,000 = 1,050,000 |
अधिकतम लाभ ₹1,050,000 बिंदु (150, 0) और (130,70) पर प्राप्त होता है।
अंतिम समाधान
ऐग्रोफार्म्स लिमिटेड को अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए टमाटर की खेती के लिए 150 एकड़ और प्याज की खेती के लिए 0 एकड़ भूमि आवंटित करनी चाहिए। या टमाटर की खेती के लिए 130 एकड़ और प्याज की खेती के लिए 70 एकड़ भूमि आवंटित करनी चाहिए। इस स्थिति में, 50 एकड़ भूमि अकृषित रहेगी।
Conclusion
संक्षेप में, ऐग्रोफार्म्स लिमिटेड को रैखिक प्रोग्रामिंग तकनीक का उपयोग करके अपने लाभ को अधिकतम करने के लिए भूमि आवंटन का अनुकूलन करना चाहिए। अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए, कंपनी को टमाटर की खेती पर ध्यान केंद्रित करना चाहिए और प्याज की खेती को सीमित करना चाहिए। यह विश्लेषण कंपनी को सीमित संसाधनों का कुशलतापूर्वक उपयोग करने और अपनी लाभप्रदता बढ़ाने में मदद करेगा। भविष्य में, कंपनी को बाजार की मांग और अन्य कारकों को ध्यान में रखते हुए अपने उत्पादन योजना को समायोजित करना चाहिए।
Answer Length
This is a comprehensive model answer for learning purposes and may exceed the word limit. In the exam, always adhere to the prescribed word count.