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UPSC MainsMANAGEMENT-PAPER-II202210 Marks

Q1.

प्रायिकता: मकान ढाँचे की त्रुटि और ढहना

एक नवनिर्मित मकान अपने ढाँचे में त्रुटि के कारण ढह सकता है। यह तब भी ढह सकता है जब इसके ढाँचे में कोई त्रुटि नहीं होती। नवनिर्मित मकान के ढाँचे में त्रुटि है, इसकी प्रायिकता 0.1 है। यह मकान ढहता है यदि ढाँचे में त्रुटि है, इसकी प्रायिकता 0.95 है, जबकि ढाँचे में बिना किसी त्रुटि के मकान ढहता है, इसकी प्रायिकता 0.45 है। ऐसा देखा जाता है कि मकान ढह गया है। इसकी क्या प्रायिकता है कि ढाँचे में त्रुटि ही इसका कारण है?

How to Approach

इस प्रश्न को हल करने के लिए, हमें बेयस प्रमेय (Bayes' Theorem) का उपयोग करना होगा। प्रश्न में दी गई जानकारी को ध्यान से समझकर, हमें सशर्त प्रायिकता (Conditional Probability) की गणना करनी होगी। सबसे पहले, हमें उन घटनाओं को परिभाषित करना होगा जिनकी प्रायिकता हम ज्ञात करना चाहते हैं। फिर, बेयस प्रमेय के सूत्र का उपयोग करके, हम ढाँचे में त्रुटि होने की प्रायिकता ज्ञात कर सकते हैं, यह देखते हुए कि मकान ढह गया है। उत्तर को स्पष्ट और तार्किक रूप से प्रस्तुत करना महत्वपूर्ण है।

Model Answer

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Introduction

प्रायिकता सिद्धांत (Probability Theory) गणित की एक महत्वपूर्ण शाखा है जो अनिश्चित घटनाओं की संभावना का अध्ययन करती है। यह विभिन्न क्षेत्रों में उपयोगी है, जैसे कि बीमा, वित्त, और इंजीनियरिंग। बेयस प्रमेय प्रायिकता सिद्धांत का एक महत्वपूर्ण उपकरण है जो हमें किसी घटना की पूर्व प्रायिकता (Prior Probability) को नई जानकारी के आधार पर अपडेट करने की अनुमति देता है। इस प्रश्न में, हमें एक नवनिर्मित मकान के ढहने की घटना पर विचार करना है और यह निर्धारित करना है कि क्या ढाँचे में त्रुटि इसका कारण है। यह प्रश्न वास्तविक जीवन की समस्याओं को हल करने के लिए प्रायिकता सिद्धांत के अनुप्रयोग को दर्शाता है।

समस्या का विश्लेषण

हमें निम्नलिखित जानकारी दी गई है:

P(A) = 0.1 (ढाँचे में त्रुटि होने की प्रायिकता)
P(B|A) = 0.95 (ढाँचे में त्रुटि होने पर मकान के ढहने की प्रायिकता)
P(B|¬A) = 0.45 (ढाँचे में त्रुटि न होने पर मकान के ढहने की प्रायिकता)

हमें P(A|B) ज्ञात करना है, अर्थात, यह देखते हुए कि मकान ढह गया है, ढाँचे में त्रुटि होने की प्रायिकता।

बेयस प्रमेय का उपयोग

बेयस प्रमेय का सूत्र है:

P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / P(B)

हमें P(B) ज्ञात करने की आवश्यकता है, जो कि मकान के ढहने की कुल प्रायिकता है। इसे इस प्रकार गणना की जा सकती है:

P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|¬A) * P(¬A)

जहां P(¬A) = 1 - P(A) = 1 - 0.1 = 0.9

गणना

अब, हम P(B) की गणना करते हैं:

P(B) = (0.95 * 0.1) + (0.45 * 0.9) = 0.095 + 0.405 = 0.5

अब, हम P(A|B) की गणना करते हैं:

P(A|B) = (0.95 * 0.1) / 0.5 = 0.095 / 0.5 = 0.19

निष्कर्ष

इसलिए, यह देखते हुए कि मकान ढह गया है, इसकी प्रायिकता 0.19 है कि ढाँचे में त्रुटि इसका कारण है।

अतिरिक्त स्पष्टीकरण

यह परिणाम दर्शाता है कि भले ही ढाँचे में त्रुटि होने की प्रायिकता केवल 0.1 है, लेकिन यदि मकान ढह जाता है, तो त्रुटि होने की प्रायिकता बढ़ जाती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि त्रुटि होने पर मकान के ढहने की प्रायिकता बहुत अधिक है (0.95)।

Conclusion

संक्षेप में, बेयस प्रमेय का उपयोग करके, हमने यह निर्धारित किया कि यदि एक नवनिर्मित मकान ढह जाता है, तो इसकी प्रायिकता 0.19 है कि ढाँचे में त्रुटि इसका कारण है। यह उदाहरण प्रायिकता सिद्धांत और बेयस प्रमेय के महत्व को दर्शाता है, जो हमें अनिश्चितता के तहत निर्णय लेने में मदद करते हैं। इस प्रकार की गणनाएँ निर्माण उद्योग में गुणवत्ता नियंत्रण और जोखिम मूल्यांकन के लिए महत्वपूर्ण हैं।

Answer Length

This is a comprehensive model answer for learning purposes and may exceed the word limit. In the exam, always adhere to the prescribed word count.

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Additional Resources

Key Definitions

बेयस प्रमेय (Bayes' Theorem)

बेयस प्रमेय एक गणितीय सूत्र है जो किसी घटना की पूर्व प्रायिकता को नई जानकारी के आधार पर अपडेट करने की अनुमति देता है। यह सशर्त प्रायिकता पर आधारित है और विभिन्न क्षेत्रों में उपयोगी है, जैसे कि सांख्यिकी, मशीन लर्निंग, और चिकित्सा निदान।

सशर्त प्रायिकता (Conditional Probability)

सशर्त प्रायिकता किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता है, यह मानते हुए कि कोई अन्य घटना पहले से ही घटित हो चुकी है। इसे P(A|B) के रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ A और B दो घटनाएँ हैं।

Key Statistics

भारत में, 2022-23 में आवास क्षेत्र में निर्माण लागत में औसतन 10-15% की वृद्धि हुई, जिसका मुख्य कारण निर्माण सामग्री की कीमतों में वृद्धि और श्रम की कमी थी।

Source: टाइम्स ऑफ़ इंडिया (2023)

भारत में, निर्माण क्षेत्र देश के सकल घरेलू उत्पाद (GDP) में लगभग 8% का योगदान देता है। (2021-22)

Source: भारतीय रिजर्व बैंक (RBI)

Examples

चिकित्सा निदान

बेयस प्रमेय का उपयोग चिकित्सा निदान में किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि किसी व्यक्ति में किसी बीमारी के लक्षण दिखाई देते हैं, तो बेयस प्रमेय का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि बीमारी होने की प्रायिकता कितनी है, यह देखते हुए कि लक्षण मौजूद हैं।

Frequently Asked Questions

▶सशर्त प्रायिकता क्या है?

सशर्त प्रायिकता एक घटना की प्रायिकता है, यह देखते हुए कि दूसरी घटना पहले से ही घटित हो चुकी है। इसे P(A|B) के रूप में दर्शाया जाता है, जिसका अर्थ है "घटना B के घटित होने पर घटना A की प्रायिकता"।

Topics Covered

StatisticsProbabilityBayes' TheoremConditional ProbabilityData Analysis

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