Model Answer
0 min readIntroduction
सांख्यिकी में, स्वतंत्रता परीक्षण यह निर्धारित करने के लिए उपयोग किया जाता है कि दो श्रेणीबद्ध चर (Categorical Variables) एक दूसरे से संबंधित हैं या नहीं। उत्पादन और गुणवत्ता नियंत्रण के संदर्भ में, यह जानना महत्वपूर्ण है कि क्या उत्पादन की पाली और सप्ताह के बीच दोषपूर्ण वस्तुओं की संख्या में कोई संबंध है। यदि कोई संबंध है, तो इसका मतलब है कि कुछ पालियाँ या सप्ताह दूसरों की तुलना में अधिक दोषपूर्ण वस्तुएँ उत्पन्न करते हैं, और इस समस्या को हल करने के लिए सुधारात्मक कार्रवाई की जानी चाहिए। इस प्रश्न में, हम 5% सार्थकता स्तर पर यह परीक्षण करेंगे कि क्या सप्ताह और पाली स्वतंत्र हैं।
काई-वर्ग परीक्षण (Chi-Square Test)
काई-वर्ग परीक्षण एक गैर-पैरामीट्रिक परीक्षण (Non-Parametric Test) है जिसका उपयोग दो श्रेणीबद्ध चर के बीच स्वतंत्रता का परीक्षण करने के लिए किया जाता है। यह परीक्षण प्रेक्षित आवृत्तियों और प्रत्याशित आवृत्तियों के बीच अंतर को मापता है।
प्रत्याशित आवृत्तियों की गणना (Calculation of Expected Frequencies)
प्रत्याशित आवृत्ति की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है:
Eij = (पंक्ति योग * स्तंभ योग) / कुल योग
जहां Eij पंक्ति i और स्तंभ j के लिए प्रत्याशित आवृत्ति है।
डेटा का विश्लेषण (Data Analysis)
सबसे पहले, हमें तालिका से डेटा को व्यवस्थित करना होगा:
| पाली (Shift) | सप्ताह 1 (Week 1) | सप्ताह 2 (Week 2) | सप्ताह 3 (Week 3) | पंक्ति योग (Row Total) |
|---|---|---|---|---|
| पाली 1 (Shift 1) | a | b | c | a+b+c |
| पाली 2 (Shift 2) | d | e | f | d+e+f |
| पाली 3 (Shift 3) | g | h | i | g+h+i |
| स्तंभ योग (Column Total) | a+d+g | b+e+h | c+f+i | कुल योग (Grand Total) |
मान लीजिए कि तालिका में निम्नलिखित डेटा है (उदाहरण के लिए):
| पाली (Shift) | सप्ताह 1 (Week 1) | सप्ताह 2 (Week 2) | सप्ताह 3 (Week 3) | पंक्ति योग (Row Total) |
|---|---|---|---|---|
| पाली 1 (Shift 1) | 20 | 25 | 30 | 75 |
| पाली 2 (Shift 2) | 15 | 18 | 22 | 55 |
| पाली 3 (Shift 3) | 25 | 32 | 28 | 85 |
| स्तंभ योग (Column Total) | 60 | 75 | 80 | 215 |
अब, हम प्रत्याशित आवृत्तियों की गणना करेंगे। उदाहरण के लिए, पाली 1 और सप्ताह 1 के लिए प्रत्याशित आवृत्ति होगी:
E11 = (75 * 60) / 215 = 20.93
इसी तरह, हम अन्य सभी प्रत्याशित आवृत्तियों की गणना करेंगे।
काई-वर्ग आँकड़ा की गणना (Calculation of Chi-Square Statistic)
काई-वर्ग आँकड़ा की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है:
χ2 = Σ [(Oij - Eij)2 / Eij]
जहां Oij प्रेक्षित आवृत्ति है और Eij प्रत्याशित आवृत्ति है।
प्रत्येक सेल के लिए (Oij - Eij)2 / Eij की गणना करें और फिर उन्हें जोड़ें।
स्वतंत्रता की कोटि (Degrees of Freedom)
स्वतंत्रता की कोटि की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है:
df = (पंक्तियों की संख्या - 1) * (स्तंभों की संख्या - 1)
इस मामले में, df = (3 - 1) * (3 - 1) = 4
निर्णय (Decision)
5% सार्थकता स्तर पर, स्वतंत्रता की कोटि 4 के लिए महत्वपूर्ण मान लगभग 9.488 है। यदि काई-वर्ग आँकड़ा 9.488 से अधिक है, तो हम शून्य परिकल्पना को अस्वीकार कर देंगे कि सप्ताह और पाली स्वतंत्र हैं। अन्यथा, हम शून्य परिकल्पना को स्वीकार करेंगे।
Conclusion
निष्कर्षतः, दिए गए डेटा का विश्लेषण करने के लिए काई-वर्ग परीक्षण का उपयोग किया जाना चाहिए। प्रत्याशित आवृत्तियों की गणना करके, काई-वर्ग आँकड़ा निर्धारित करके, और इसे स्वतंत्रता की कोटि के साथ तुलना करके, हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि क्या सप्ताह और पाली स्वतंत्र हैं। यदि वे स्वतंत्र नहीं हैं, तो इसका मतलब है कि उत्पादन की पाली और सप्ताह के बीच दोषपूर्ण वस्तुओं की संख्या में एक महत्वपूर्ण संबंध है, और इस समस्या को हल करने के लिए सुधारात्मक कार्रवाई की जानी चाहिए।
Answer Length
This is a comprehensive model answer for learning purposes and may exceed the word limit. In the exam, always adhere to the prescribed word count.