समाश्रयण को परिभाषित कीजिए। समाश्रयण विश्लेषण की विभिन्न विधियों और अनुप्रयोगों की व्याख्या कीजिए।

समाश्रयण की परिभाषा

समाश्रयण एक सांख्यिकीय तकनीक है जो एक आश्रित चर और एक या अधिक स्वतंत्र चरों के बीच संबंध को मॉडल करती है। इसका मुख्य उद्देश्य स्वतंत्र चर के मूल्यों के आधार पर आश्रित चर के मूल्यों का पूर्वानुमान लगाना है। समाश्रयण रेखा (Regression line) सबसे उपयुक्त रेखा होती है जो डेटा बिंदुओं के बीच संबंध को दर्शाती है।

समाश्रयण विश्लेषण की विभिन्न विधियाँ

1. रैखिक समाश्रयण (Linear Regression)

रैखिक समाश्रयण सबसे सरल प्रकार का समाश्रयण है, जिसमें एक आश्रित चर और एक स्वतंत्र चर के बीच एक रैखिक संबंध माना जाता है। इसका उपयोग तब किया जाता है जब डेटा बिंदुओं को एक सीधी रेखा के साथ अच्छी तरह से दर्शाया जा सकता है। समीकरण: Y = a + bX, जहाँ Y आश्रित चर है, X स्वतंत्र चर है, a अंतःखंड (intercept) है, और b ढलान (slope) है।

2. बहुविध समाश्रयण (Multiple Regression)

बहुविध समाश्रयण में, एक आश्रित चर और दो या दो से अधिक स्वतंत्र चर होते हैं। यह विधि तब उपयोगी होती है जब कई चर आश्रित चर को प्रभावित करते हैं। समीकरण: Y = a + b1X1 + b2X2 + ... + bnXn

3. लॉजिस्टिक समाश्रयण (Logistic Regression)

लॉजिस्टिक समाश्रयण का उपयोग तब किया जाता है जब आश्रित चर द्विआधारी (binary) होता है, यानी केवल दो संभावित मान होते हैं (जैसे, हाँ/नहीं, सफल/असफल)। यह विधि संभावनाओं का अनुमान लगाने के लिए उपयोग की जाती है।

4. बहुपद समाश्रयण (Polynomial Regression)

बहुपद समाश्रयण का उपयोग तब किया जाता है जब आश्रित चर और स्वतंत्र चर के बीच संबंध गैर-रैखिक (non-linear) होता है। इस विधि में, स्वतंत्र चर को बहुपद के रूप में उपयोग किया जाता है।

समाश्रयण विश्लेषण के अनुप्रयोग

1. अर्थशास्त्र (Economics)

अर्थशास्त्र में, समाश्रयण विश्लेषण का उपयोग मांग और आपूर्ति के बीच संबंध का अध्ययन करने, मुद्रास्फीति का पूर्वानुमान लगाने और आर्थिक विकास को प्रभावित करने वाले कारकों का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, विज्ञापन व्यय और बिक्री के बीच संबंध का विश्लेषण किया जा सकता है।

2. जीव विज्ञान (Biology)

जीव विज्ञान में, समाश्रयण विश्लेषण का उपयोग जीन अभिव्यक्ति और रोग के बीच संबंध का अध्ययन करने, विकास दर का पूर्वानुमान लगाने और पर्यावरणीय कारकों के प्रभाव का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, खुराक और प्रतिक्रिया के बीच संबंध का विश्लेषण किया जा सकता है।

3. इंजीनियरिंग (Engineering)

इंजीनियरिंग में, समाश्रयण विश्लेषण का उपयोग सामग्री की ताकत का पूर्वानुमान लगाने, प्रक्रिया नियंत्रण को अनुकूलित करने और विश्वसनीयता का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, तापमान और सामग्री की ताकत के बीच संबंध का विश्लेषण किया जा सकता है।

4. सामाजिक विज्ञान (Social Sciences)

सामाजिक विज्ञान में, समाश्रयण विश्लेषण का उपयोग शिक्षा और आय के बीच संबंध का अध्ययन करने, अपराध दर का पूर्वानुमान लगाने और सामाजिक असमानता का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, शिक्षा के स्तर और आय के बीच संबंध का विश्लेषण किया जा सकता है।

समाश्रयण विधि	आश्रित चर का प्रकार	अनुप्रयोग
रैखिक समाश्रयण	निरंतर (Continuous)	मांग पूर्वानुमान, बिक्री विश्लेषण
बहुविध समाश्रयण	निरंतर	आर्थिक विकास मॉडल, रोग पूर्वानुमान
लॉजिस्टिक समाश्रयण	द्विआधारी (Binary)	ग्राहक वर्गीकरण, जोखिम मूल्यांकन
बहुपद समाश्रयण	निरंतर	विकास मॉडल, प्रतिक्रिया वक्र