Model Answer
0 min readIntroduction
रैखिक प्रोग्रामिंग (Linear Programming) एक गणितीय तकनीक है जिसका उपयोग सीमित संसाधनों के तहत किसी उद्देश्य फलन (Objective Function) को अधिकतम या न्यूनतम करने के लिए किया जाता है। यह विभिन्न क्षेत्रों जैसे उत्पादन, परिवहन, वित्त और विपणन में निर्णय लेने में सहायक है। सिम्प्लेक्स विधि (Simplex Method) रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करने के लिए सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली विधियों में से एक है। यह एक पुनरावृत्तीय प्रक्रिया है जो संभावित समाधानों की खोज करती है जब तक कि इष्टतम समाधान (Optimal Solution) नहीं मिल जाता। सिम्प्लेक्स विधि का प्रभावी ढंग से उपयोग करने के लिए कुछ विशिष्ट शर्तों का पालन करना आवश्यक है, जिनका विवरण आगे प्रस्तुत किया गया है।
सिम्प्लेक्स विधि के उपयोग के लिए आवश्यक शर्तें
सिम्प्लेक्स विधि का उपयोग करने से पहले, यह सुनिश्चित करना महत्वपूर्ण है कि समस्या कुछ विशिष्ट शर्तों को पूरा करती है। इन शर्तों को निम्नलिखित श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है:
1. समस्या का स्वरूप (Nature of the Problem)
- रैखिक संबंध (Linearity): समस्या में सभी संबंध रैखिक होने चाहिए। इसका मतलब है कि उद्देश्य फलन और बाधाएं (Constraints) सभी चरों (Variables) के रैखिक संयोजन होने चाहिए। उदाहरण के लिए, x2 या xy जैसे गैर-रैखिक पद स्वीकार्य नहीं हैं।
- निश्चितता (Certainty): समस्या के सभी पैरामीटर (Parameters) निश्चित होने चाहिए। अनिश्चितता या संभाव्यता (Probability) को शामिल करने वाली समस्याओं को सिम्प्लेक्स विधि से सीधे हल नहीं किया जा सकता।
- एकल उद्देश्य (Single Objective): समस्या में केवल एक ही उद्देश्य होना चाहिए जिसे अधिकतम या न्यूनतम किया जाना है। यदि कई उद्देश्यों को ध्यान में रखना है, तो उन्हें एक एकल उद्देश्य फलन में संयोजित करने की आवश्यकता होगी।
2. बाधाएं (Constraints)
- समानता या असमानता (Equality or Inequality): बाधाएं समानता (=) या असमानता (≤ या ≥) के रूप में व्यक्त की जा सकती हैं।
- गैर-नकारात्मकता (Non-Negativity): सभी चर गैर-नकारात्मक होने चाहिए, यानी x ≥ 0। यह वास्तविक दुनिया की समस्याओं में संसाधनों की सीमाओं को दर्शाता है।
- पूर्ण बाधाएं (Complete Constraints): समस्या में सभी महत्वपूर्ण बाधाएं शामिल होनी चाहिए। किसी भी महत्वपूर्ण बाधा को छोड़ देने से गलत समाधान मिल सकता है।
3. समस्या का मानकीकरण (Standardization of the Problem)
- मानक रूप (Standard Form): सिम्प्लेक्स विधि को लागू करने से पहले, समस्या को मानक रूप में परिवर्तित करना आवश्यक है। मानक रूप में, उद्देश्य फलन को अधिकतम किया जाता है, और सभी बाधाएं समानता के रूप में व्यक्त की जाती हैं।
- अतिरिक्त चर (Slack/Surplus Variables): असमानता बाधाओं को समानता में बदलने के लिए अतिरिक्त चरों (Slack variables ≤ बाधाओं के लिए और Surplus variables ≥ बाधाओं के लिए) को जोड़ा जाता है।
- कृत्रिम चर (Artificial Variables): यदि प्रारंभिक बुनियादी समाधान (Initial Basic Solution) उपलब्ध नहीं है, तो कृत्रिम चरों को जोड़ा जाता है।
4. बुनियादी व्यवहार्यता (Basic Feasibility)
- व्यवहार्य समाधान (Feasible Solution): समस्या में कम से कम एक व्यवहार्य समाधान होना चाहिए, यानी बाधाओं को संतुष्ट करने वाला चरों का एक सेट।
- असीमित समाधान (Unbounded Solution): समस्या में असीमित समाधान नहीं होना चाहिए, यानी उद्देश्य फलन को असीमित रूप से बढ़ाया या घटाया नहीं जा सकता।
- चक्रीयता (Cycling): सिम्प्लेक्स विधि में चक्रीयता से बचना चाहिए, जहां पुनरावृत्तियों का एक चक्र बनता है और कोई इष्टतम समाधान नहीं मिलता।
उदाहरण: एक कंपनी दो प्रकार के उत्पाद, A और B बनाती है। उत्पाद A बनाने में 2 घंटे श्रम और 1 किलोग्राम सामग्री लगती है, जबकि उत्पाद B बनाने में 3 घंटे श्रम और 2 किलोग्राम सामग्री लगती है। कंपनी के पास प्रति सप्ताह 12 घंटे श्रम और 7 किलोग्राम सामग्री उपलब्ध है। यदि उत्पाद A से लाभ ₹3 प्रति इकाई और उत्पाद B से लाभ ₹5 प्रति इकाई है, तो कंपनी को अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए प्रत्येक उत्पाद की कितनी इकाइयां बनानी चाहिए?
इस समस्या को रैखिक प्रोग्रामिंग के रूप में तैयार किया जा सकता है और सिम्प्लेक्स विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है, बशर्ते कि उपरोक्त सभी शर्तें पूरी हों।
Conclusion
संक्षेप में, सिम्प्लेक्स विधि एक शक्तिशाली उपकरण है जिसका उपयोग रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है। हालांकि, इस विधि का प्रभावी ढंग से उपयोग करने के लिए, यह सुनिश्चित करना महत्वपूर्ण है कि समस्या रैखिक हो, बाधाएं स्पष्ट रूप से परिभाषित हों, और समस्या को मानक रूप में परिवर्तित किया जा सके। इन शर्तों का पालन करके, हम इष्टतम समाधान प्राप्त कर सकते हैं और संसाधनों का कुशलतापूर्वक उपयोग कर सकते हैं।
Answer Length
This is a comprehensive model answer for learning purposes and may exceed the word limit. In the exam, always adhere to the prescribed word count.