फलन के सांतत्य की जाँच

Introduction

कैलकुलस में किसी बिंदु पर किसी वास्तविक फलन के संतत (Continuous) होने के लिए उस बिंदु पर फलन की वाम हस्त सीमा (Left Hand Limit), दक्षिण हस्त सीमा (Right Hand Limit) और फलन का वास्तविक मान तीनों परस्पर समान होने चाहिए। यदि इनमें से कोई भी शर्त पूरी नहीं होती है, तो फलन उस बिंदु पर असंतत (Discontinuous) कहलाता है।

सांतत्य की अनिवार्य शर्त

किसी बिंदु x = 0 पर फलन f(x) के संतत होने के लिए अनिवार्य गणितीय शर्त निम्नलिखित है:

lim (x → 0⁻) f(x) = lim (x → 0⁺) f(x) = f(0)

1. वाम हस्त सीमा (Left Hand Limit - LHL) का निर्धारण

वाम हस्त सीमा हेतु x = 0 - h प्रतिस्थापित करते हैं, जहाँ h → 0 (h > 0):

LHL = lim (h → 0) [1 / (1 - e^(-1/(-h)))] = lim (h → 0) [1 / (1 - e^(1/h))]

• चरघातांकी विश्लेषण: जैसे ही h → 0 होता है, 1/h धनात्मक अनंत (+∞) की ओर अग्रसर होता है, जिससे e^(1/h) → ∞ हो जाता है।
• LHL मान: अतः LHL = 1 / (1 - ∞) = 0 प्राप्त होता है।

2. दक्षिण हस्त सीमा (Right Hand Limit - RHL) का निर्धारण

दक्षिण हस्त सीमा हेतु x = 0 + h प्रतिस्थापित करते हैं, जहाँ h → 0 (h > 0):

RHL = lim (h → 0) [1 / (1 - e^(-1/h))]

• चरघातांकी विश्लेषण: जैसे ही h → 0 होता है, -1/h ऋणात्मक अनंत (-∞) की ओर अग्रसर होता है, जिससे e^(-1/h) = 1 / e^(1/h) → 0 प्राप्त होता है।
• RHL मान: अतः RHL = 1 / (1 - 0) = 1 प्राप्त होता है।

3. फलन का मान एवं सीमाओं की तुलना

• दत्त मान: प्रश्न में x = 0 पर फलन का मान f(0) = 0 दिया गया है।
• सीमाओं की तुलना: यहाँ LHL = 0 तथा RHL = 1 है, अर्थात् LHL ≠ RHL।

Conclusion

चूँकि बिंदु x = 0 पर वाम हस्त सीमा और दक्षिण हस्त सीमा के मान असमान हैं (LHL ≠ RHL), अतः इस बिंदु पर सीमा का अस्तित्व ही नहीं है। फलस्वरूप, फलन f(x) बिंदु x = 0 पर असंतत (Discontinuous) है। यह परिमाण 1 की प्रथम प्रकार की परिमित उछाल असंततता (Jump Discontinuity) को प्रदर्शित करता है।