Question 22

MNP निर्माणी फर्म सुसज्जित लकड़ी फ्रेम के दरवाजे एवं खिड़कियाँ बनाती है । प्रत्येक मद तीन निर्माण प्रक्रियाओं से गुजरती है : काटना, रगड़ना और तैयार करना । प्रत्येक दरवाजे को काटने में एक घण्टा, रगड़ने में 30 मिनट और तैयार करने में 30 मिनट लगता है । प्रत्येक खिड़की को काटने में 30 मिनट, रगड़ने में 45 मिनट तथा तैयार करने में 1 घण्टा लगता है । आने वाले सप्ताह में, MNP के पास 40 घण्टे काटने की क्षमता, 40 घण्टे रगड़ने की क्षमता और 60 घण्टे तैयार करने की क्षमता उपलब्ध है । अनुमान है कि प्रत्येक दरवाजे को ₹ 500 के लाभ पर तथा प्रत्येक खिड़की को ₹ 400 के लाभ पर, सारे दरवाजे-खिड़कियाँ उत्पादन करके बेचे जा सकते हैं । इस समस्या के समाधान हेतु एक रेखीय प्रोग्रामन प्रतिरूप तैयार कीजिए । ग्राफीय पद्धति से इष्टतम हल ज्ञात कीजिए ।

How to Approach

इस प्रश्न को हल करने के लिए, हमें पहले समस्या को एक रेखीय प्रोग्रामन मॉडल में बदलना होगा। इसमें निर्णय चर (दरवाजों और खिड़कियों की संख्या), उद्देश्य फलन (लाभ को अधिकतम करना), और बाधाएं (उपलब्ध संसाधन) परिभाषित करना शामिल है। फिर, ग्राफीय विधि का उपयोग करके, हमें बाधाओं को ग्राफ पर प्लॉट करना होगा और संभव क्षेत्र (feasible region) की पहचान करनी होगी। अंत में, उद्देश्य फलन को अधिकतम करने वाले संभव क्षेत्र के कोने बिंदुओं का मूल्यांकन करना होगा। उत्तर में मॉडल निर्माण और ग्राफीय हल दोनों शामिल होने चाहिए।

Model Answer

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Introduction

रेखीय प्रोग्रामन (Linear Programming) एक गणितीय तकनीक है जिसका उपयोग संसाधनों की सीमित उपलब्धता के तहत किसी उद्देश्य फलन को अधिकतम या न्यूनतम करने के लिए किया जाता है। यह प्रबंधन, अर्थशास्त्र और इंजीनियरिंग सहित विभिन्न क्षेत्रों में निर्णय लेने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है। इस प्रश्न में, MNP निर्माण फर्म को अपने सीमित संसाधनों (काटने, रगड़ने और तैयार करने की क्षमता) का उपयोग करके दरवाजों और खिड़कियों के उत्पादन को अनुकूलित करना है ताकि लाभ को अधिकतम किया जा सके। रेखीय प्रोग्रामन मॉडल बनाकर और ग्राफीय विधि का उपयोग करके, हम फर्म के लिए इष्टतम उत्पादन योजना निर्धारित कर सकते हैं।

रेखीय प्रोग्रामन प्रतिरूप (Linear Programming Model)

मान लीजिए:

x = दरवाजों की संख्या
y = खिड़कियों की संख्या

उद्देश्य फलन (Objective Function)

लाभ को अधिकतम करना है: Z = 500x + 400y

बाधाएं (Constraints)

उपलब्ध संसाधनों के आधार पर:

काटने की क्षमता: x + 0.5y ≤ 40
रगड़ने की क्षमता: 0.5x + 0.75y ≤ 40
तैयार करने की क्षमता: 0.5x + y ≤ 60
गैर-नकारात्मकता बाधाएं: x ≥ 0, y ≥ 0

ग्राफीय विधि से इष्टतम हल (Optimal Solution using Graphical Method)

1. बाधाओं को रेखाओं के रूप में प्लॉट करें: प्रत्येक बाधा को एक समीकरण के रूप में लिखें और फिर उन्हें ग्राफ पर प्लॉट करें। 2. संभव क्षेत्र (Feasible Region) की पहचान करें: वह क्षेत्र जो सभी बाधाओं को संतुष्ट करता है, संभव क्षेत्र कहलाता है। 3. कोने बिंदु (Corner Points) ज्ञात करें: संभव क्षेत्र के कोने बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात करें। 4. उद्देश्य फलन का मूल्यांकन करें: प्रत्येक कोने बिंदु पर उद्देश्य फलन (Z) का मान ज्ञात करें। 5. इष्टतम हल (Optimal Solution) चुनें: वह कोने बिंदु जहां उद्देश्य फलन का मान अधिकतम होता है, इष्टतम हल होता है।

ग्राफिकल विधि से हल करने पर (ग्राफ यहां प्रदर्शित नहीं किया जा सकता, लेकिन प्रक्रिया का वर्णन किया गया है), कोने बिंदु निम्नलिखित होंगे:

(0, 0): Z = 0
(40, 0): Z = 20000
(0, 53.33): Z = 21332
(20, 40): Z = 28000

इसलिए, इष्टतम हल x = 20 और y = 40 है, जहां अधिकतम लाभ ₹ 28,000 है। इसका मतलब है कि MNP निर्माण फर्म को 20 दरवाजे और 40 खिड़कियां बनानी चाहिए ताकि लाभ को अधिकतम किया जा सके।

Conclusion

इस रेखीय प्रोग्रामन मॉडल और ग्राफीय विधि का उपयोग करके, MNP निर्माण फर्म अपने सीमित संसाधनों का कुशलतापूर्वक उपयोग करके लाभ को अधिकतम कर सकती है। यह निर्णय लेने की प्रक्रिया में एक महत्वपूर्ण उपकरण है, जो फर्म को संसाधनों के आवंटन और उत्पादन योजना के बारे में सूचित निर्णय लेने में मदद करता है। भविष्य में, फर्म लागत और मांग में बदलाव को ध्यान में रखते हुए मॉडल को अपडेट कर सकती है।

Answer Length

This is a comprehensive model answer for learning purposes and may exceed the word limit. In the exam, always adhere to the prescribed word count.

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Additional Resources

Key Definitions

रेखीय प्रोग्रामन (Linear Programming)

एक गणितीय तकनीक जो संसाधनों की सीमित उपलब्धता के तहत किसी उद्देश्य फलन को अधिकतम या न्यूनतम करने के लिए उपयोग की जाती है।

संभव क्षेत्र (Feasible Region)

रेखीय प्रोग्रामन में, वह क्षेत्र जो सभी बाधाओं को संतुष्ट करता है, संभव क्षेत्र कहलाता है।

Key Statistics

भारत में निर्माण क्षेत्र का सकल घरेलू उत्पाद (GDP) में योगदान लगभग 8% है (2023-24)।

Source: राष्ट्रीय सांख्यिकी कार्यालय (NSO), भारत सरकार

भारत सरकार ने 2023 में बुनियादी ढांचे के विकास के लिए ₹10 लाख करोड़ का पूंजीगत व्यय आवंटित किया।

Source: भारत का बजट 2023-24

Examples

उत्पादन मिश्रण समस्या (Product Mix Problem)

एक कंपनी के पास विभिन्न उत्पादों का उत्पादन करने के लिए सीमित संसाधन हैं। रेखीय प्रोग्रामन का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि प्रत्येक उत्पाद की कितनी मात्रा का उत्पादन किया जाना चाहिए ताकि लाभ को अधिकतम किया जा सके।

Frequently Asked Questions

▶रेखीय प्रोग्रामन की सीमाएं क्या हैं?

रेखीय प्रोग्रामन की कुछ सीमाएं हैं, जैसे कि यह मानता है कि सभी संबंध रेखीय हैं, और यह अनिश्चितता और जोखिम को ध्यान में नहीं रखता है।

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