Model Answer
0 min readIntroduction
डाकघरों में, डाक के प्रक्रमण (processing) का कार्य अक्सर कई लिपिकों को सौंपा जाता है। प्रत्येक लिपिक की त्रुटि करने की संभावना अलग-अलग हो सकती है। जब एक त्रुटिपूर्ण डाक मिलती है, तो यह जानना महत्वपूर्ण हो जाता है कि त्रुटि किस लिपिक द्वारा की गई है। इस समस्या को हल करने के लिए प्रायिकता सिद्धांत (probability theory) का उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से बेयस प्रमेय। बेयस प्रमेय हमें पूर्व प्रायिकता (prior probability) और प्रमाण (evidence) के आधार पर पश्च प्रायिकता (posterior probability) की गणना करने में मदद करता है।
समस्या का विश्लेषण
हमें तीन लिपिक C₁, C₂ और C₃ दिए गए हैं, जो क्रमशः 40%, 35% और 25% डाक का प्रक्रमण करते हैं। उनकी त्रुटि दरें क्रमशः 0.04, 0.06 और 0.03 हैं। हमें यह ज्ञात करना है कि यदि एक त्रुटिपूर्ण डाक मिलती है, तो यह प्रत्येक लिपिक द्वारा संसाधित किए जाने की प्रायिकता क्या है।
प्रायिकताओं का निर्धारण
सबसे पहले, हम निम्नलिखित प्रायिकताओं को परिभाषित करते हैं:
- P(C₁) = 0.40 (लिपिक C₁ द्वारा डाक प्रक्रमण करने की प्रायिकता)
- P(C₂) = 0.35 (लिपिक C₂ द्वारा डाक प्रक्रमण करने की प्रायिकता)
- P(C₃) = 0.25 (लिपिक C₃ द्वारा डाक प्रक्रमण करने की प्रायिकता)
- P(E|C₁) = 0.04 (यदि लिपिक C₁ द्वारा डाक प्रक्रमण किया गया है तो त्रुटि होने की प्रायिकता)
- P(E|C₂) = 0.06 (यदि लिपिक C₂ द्वारा डाक प्रक्रमण किया गया है तो त्रुटि होने की प्रायिकता)
- P(E|C₃) = 0.03 (यदि लिपिक C₃ द्वारा डाक प्रक्रमण किया गया है तो त्रुटि होने की प्रायिकता)
बेयस प्रमेय का अनुप्रयोग
हमें P(C₁|E), P(C₂|E) और P(C₃|E) की गणना करनी है, जो कि त्रुटि होने पर प्रत्येक लिपिक द्वारा डाक प्रक्रमण करने की पश्च प्रायिकता है। बेयस प्रमेय के अनुसार:
P(Cᵢ|E) = [P(E|Cᵢ) * P(Cᵢ)] / P(E)
जहां P(E) त्रुटि होने की कुल प्रायिकता है, जिसे इस प्रकार गणना की जा सकती है:
P(E) = P(E|C₁) * P(C₁) + P(E|C₂) * P(C₂) + P(E|C₃) * P(C₃)
P(E) की गणना
P(E) = (0.04 * 0.40) + (0.06 * 0.35) + (0.03 * 0.25)
P(E) = 0.016 + 0.021 + 0.0075
P(E) = 0.0445
पश्च प्रायिकताओं की गणना
अब हम प्रत्येक लिपिक के लिए पश्च प्रायिकता की गणना कर सकते हैं:
- P(C₁|E) = (0.04 * 0.40) / 0.0445 = 0.016 / 0.0445 ≈ 0.3596
- P(C₂|E) = (0.06 * 0.35) / 0.0445 = 0.021 / 0.0445 ≈ 0.4719
- P(C₃|E) = (0.03 * 0.25) / 0.0445 = 0.0075 / 0.0445 ≈ 0.1685
परिणामों का सारणीकरण
| लिपिक | त्रुटि होने पर प्रायिकता (P(Cᵢ|E)) |
|---|---|
| C₁ | 0.3596 |
| C₂ | 0.4719 |
| C₃ | 0.1685 |
Conclusion
निष्कर्षतः, यदि एक त्रुटिपूर्ण डाक मिलती है, तो पोस्टमास्टर को यह मानना चाहिए कि त्रुटि लिपिक C₂ द्वारा किए जाने की संभावना सबसे अधिक (लगभग 47.19%) है, इसके बाद लिपिक C₁ (लगभग 35.96%) और फिर लिपिक C₃ (लगभग 16.85%) द्वारा किए जाने की संभावना है। यह विश्लेषण बेयस प्रमेय का उपयोग करके किया गया है, जो पूर्व प्रायिकताओं और प्रमाणों के आधार पर पश्च प्रायिकताओं की गणना करने का एक शक्तिशाली उपकरण है। इस जानकारी का उपयोग डाकघर में त्रुटि नियंत्रण और लिपिकों के प्रदर्शन मूल्यांकन के लिए किया जा सकता है।
Answer Length
This is a comprehensive model answer for learning purposes and may exceed the word limit. In the exam, always adhere to the prescribed word count.