Model Answer
0 min readIntroduction
उत्पादन प्रबंधन में, इष्टतम उत्पादन समय-सारणी का निर्धारण एक महत्वपूर्ण कार्य है। इसका उद्देश्य सीमित संसाधनों का उपयोग करते हुए अधिकतम लाभ प्राप्त करना होता है। यह समस्या अक्सर रैखिक प्रोग्रामिंग तकनीकों का उपयोग करके हल की जाती है, जिसमें उद्देश्य फलन (Objective Function) को अधिकतम या न्यूनतम करना होता है, जबकि कुछ बाधाओं (Constraints) का पालन करना होता है। ग्राफीय विधि रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करने का एक सरल और दृश्य तरीका है, खासकर जब दो चर शामिल हों। यह विधि उत्पादन योजना और संसाधन आवंटन में निर्णय लेने में सहायक होती है।
उत्पादन समय-सारणी का अनुकूलन: एक ग्राफीय दृष्टिकोण
किसी भी उत्पादन समस्या को हल करने के लिए, सबसे पहले समस्या को गणितीय रूप में व्यक्त करना आवश्यक है। मान लीजिए कि एक कंपनी दो उत्पाद, A और B बनाती है। प्रत्येक उत्पाद को बनाने में विभिन्न संसाधनों (जैसे श्रम, सामग्री) की आवश्यकता होती है, और प्रत्येक उत्पाद को बेचने पर अलग-अलग लाभ होता है।
1. समस्या का निरूपण (Problem Formulation)
मान लीजिए:
- x = उत्पाद A की मात्रा
- y = उत्पाद B की मात्रा
- लाभ फलन (Objective Function): Z = c1x + c2y (जहां c1 और c2 क्रमशः उत्पाद A और B से लाभ हैं)
- बाधाएं (Constraints):
- a1x + b1y ≤ d1 (संसाधन 1 की उपलब्धता)
- a2x + b2y ≤ d2 (संसाधन 2 की उपलब्धता)
- x ≥ 0, y ≥ 0 (गैर-नकारात्मकता बाधाएं)
2. ग्राफीय विधि (Graphical Method)
ग्राफीय विधि में निम्नलिखित चरण शामिल हैं:
- बाधाओं को रेखाओं के रूप में आलेखित करें: प्रत्येक बाधा को एक रेखा के रूप में आलेखित करें। रेखा के एक तरफ का क्षेत्र बाधा को संतुष्ट करता है।
- संभाव्य क्षेत्र (Feasible Region) निर्धारित करें: सभी बाधाओं को संतुष्ट करने वाले क्षेत्र को संभावित क्षेत्र कहा जाता है।
- इष्टतम समाधान (Optimal Solution) ज्ञात करें: संभावित क्षेत्र के कोने के बिंदुओं (Corner Points) पर लाभ फलन का मूल्यांकन करें। जिस कोने के बिंदु पर लाभ फलन अधिकतम होता है, वह इष्टतम समाधान होता है।
3. उदाहरण (Example)
मान लीजिए कि एक कंपनी उत्पाद A और B बनाती है। उत्पाद A से लाभ ₹5 प्रति इकाई है, और उत्पाद B से लाभ ₹4 प्रति इकाई है। कंपनी के पास 40 घंटे श्रम और 60 किलोग्राम सामग्री उपलब्ध है। उत्पाद A को बनाने में 2 घंटे श्रम और 5 किलोग्राम सामग्री लगती है, जबकि उत्पाद B को बनाने में 3 घंटे श्रम और 2 किलोग्राम सामग्री लगती है।
समस्या का गणितीय निरूपण:
- Z = 5x + 4y (अधिकतम करें)
- 2x + 3y ≤ 40 (श्रम बाधा)
- 5x + 2y ≤ 60 (सामग्री बाधा)
- x ≥ 0, y ≥ 0
इस समस्या को ग्राफीय रूप से हल करके, हम इष्टतम उत्पादन समय-सारणी प्राप्त कर सकते हैं। संभावित क्षेत्र के कोने के बिंदु (0,0), (12,0), (0,13.33), और (6,8) होंगे। इन बिंदुओं पर लाभ फलन का मूल्यांकन करने पर, हम पाते हैं कि (6,8) पर लाभ अधिकतम होता है, जो कि ₹44 है। इसलिए, इष्टतम उत्पादन समय-सारणी उत्पाद A की 6 इकाइयाँ और उत्पाद B की 8 इकाइयाँ है।
4. अन्य विधियाँ (Other Methods)
ग्राफीय विधि के अलावा, रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करने के लिए अन्य विधियाँ भी उपलब्ध हैं, जैसे कि सिम्प्लेक्स विधि (Simplex Method)। सिम्प्लेक्स विधि अधिक जटिल समस्याओं को हल करने के लिए उपयुक्त है जिनमें कई चर और बाधाएं शामिल हैं।
Conclusion
निष्कर्षतः, इष्टतम उत्पादन समय-सारणी का निर्धारण उत्पादन प्रबंधन का एक महत्वपूर्ण पहलू है। ग्राफीय विधि एक सरल और प्रभावी तरीका है जिसका उपयोग दो चर वाली रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है। यह विधि सीमित संसाधनों का उपयोग करते हुए अधिकतम लाभ प्राप्त करने में मदद करती है। उत्पादन योजना और संसाधन आवंटन में बेहतर निर्णय लेने के लिए इस विधि का उपयोग किया जा सकता है।
Answer Length
This is a comprehensive model answer for learning purposes and may exceed the word limit. In the exam, always adhere to the prescribed word count.