Model Answer
0 min readIntroduction
सांख्यिकी में, प्रतिगमन विश्लेषण दो या दो से अधिक चरों के बीच संबंध का अध्ययन करने के लिए उपयोग किया जाता है। समाश्रयण समीकरण हमें एक चर के मान के आधार पर दूसरे चर के मान का अनुमान लगाने में मदद करता है। इस प्रश्न में, हमें प्रबंधन (Y) में नम्बरों और अर्थशास्त्र (X) में नम्बरों के बीच संबंध दिया गया है, और हमें अर्थशास्त्र में माध्य नम्बर और दोनों विषयों में नम्बरों के बीच सहसम्बन्ध गुणांक ज्ञात करने के लिए कहा गया है। यह प्रश्न प्रबंधन और अर्थशास्त्र जैसे विषयों में छात्रों के प्रदर्शन का विश्लेषण करने के लिए उपयोगी है।
समाश्रयण समीकरण और अर्थशास्त्र में माध्य नम्बर की गणना
दिया गया समाश्रयण समीकरण है: 3Y - 5X + 180 = 0। इसे Y के लिए हल करने पर, हमें मिलता है: Y = (5X - 180) / 3।
हम जानते हैं कि प्रबंधन में माध्य नम्बर 44 है, यानी Ȳ = 44। इस मान को समाश्रयण समीकरण में रखने पर, हमें अर्थशास्त्र में माध्य नम्बर (X̄) प्राप्त होता है:
44 = (5X̄ - 180) / 3
132 = 5X̄ - 180
5X̄ = 312
X̄ = 62.4
इसलिए, अर्थशास्त्र में माध्य नम्बर 62.4 है।
प्रसरण और सहसम्बन्ध गुणांक की गणना
हमें दिया गया है कि अर्थशास्त्र में नम्बरों का प्रसरण, प्रबंधन में नम्बरों के प्रसरण का 9 गुना है। मान लीजिए कि प्रबंधन में नम्बरों का प्रसरण σY2 है, तो अर्थशास्त्र में नम्बरों का प्रसरण σX2 = 9σY2 होगा।
सहसम्बन्ध गुणांक (r) की गणना के लिए, हमें निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करना होगा:
r = Cov(X, Y) / (σX * σY)
जहां Cov(X, Y) X और Y के बीच सहप्रसरण (Covariance) है, σX X का मानक विचलन (Standard Deviation) है, और σY Y का मानक विचलन है।
समाश्रयण समीकरण से, हम जानते हैं कि ढलान (slope) bXY = 5/3 है। सहप्रसरण और मानक विचलन के बीच संबंध है:
Cov(X, Y) = bXY * σX * σY
इसलिए, Cov(X, Y) = (5/3) * σX * σY = (5/3) * √(9σY2) * σY = (5/3) * 3σY * σY = 5σY2
अब, सहसम्बन्ध गुणांक की गणना करते हैं:
r = Cov(X, Y) / (σX * σY) = 5σY2 / (√(9σY2) * σY) = 5σY2 / (3σY * σY) = 5/3
इसलिए, दोनों विषयों में नम्बरों के बीच सहसम्बन्ध गुणांक 5/3 है। चूँकि सहसम्बन्ध गुणांक का मान -1 से 1 के बीच होना चाहिए, इसलिए यहाँ एक त्रुटि है। हमें यह ध्यान रखना होगा कि समाश्रयण समीकरण 3Y-5X+180 = 0 है, जिसका अर्थ है कि Y, X पर आश्रित है। इसलिए, हमें bYX का उपयोग करना चाहिए, जो कि -5/3 है।
Cov(X,Y) = bYX * σX * σY = (-5/3) * σX * σY = (-5/3) * 3σY * σY = -5σY2
r = Cov(X, Y) / (σX * σY) = -5σY2 / (3σY * σY) = -5/3
फिर भी, यह मान अमान्य है। त्रुटि यह है कि हमने समाश्रयण समीकरण को गलत तरीके से समझा। सही तरीका यह है कि हम सहसम्बन्ध गुणांक के लिए सूत्र का उपयोग करें:
r2 = b2 * (σX2 / σY2) = (5/3)2 * (9σY2 / σY2) = (25/9) * 9 = 25
इसलिए, r = √25 = 5 या r = -5। चूँकि सहसम्बन्ध गुणांक का मान -1 से 1 के बीच होना चाहिए, इसलिए यहाँ भी त्रुटि है।
सही उत्तर प्राप्त करने के लिए, हमें अधिक जानकारी की आवश्यकता है।
Conclusion
इस प्रश्न में, हमने समाश्रयण समीकरण का उपयोग करके अर्थशास्त्र में माध्य नम्बर की गणना की और प्रसरण और सहसम्बन्ध गुणांक के सूत्रों का उपयोग करके आवश्यक मानों की गणना करने का प्रयास किया। हालांकि, सहसम्बन्ध गुणांक का मान अमान्य होने के कारण, हमें सही उत्तर प्राप्त करने के लिए अधिक जानकारी की आवश्यकता है। यह प्रश्न सांख्यिकी और प्रतिगमन विश्लेषण की अवधारणाओं को समझने के महत्व को दर्शाता है।
Answer Length
This is a comprehensive model answer for learning purposes and may exceed the word limit. In the exam, always adhere to the prescribed word count.