Model Answer
0 min readIntroduction
रैखिक प्रोग्रामिंग एक गणितीय तकनीक है जिसका उपयोग सीमित संसाधनों के साथ किसी उद्देश्य फलन को अधिकतम या न्यूनतम करने के लिए किया जाता है। यह प्रबंधन, अर्थशास्त्र, और इंजीनियरिंग जैसे विभिन्न क्षेत्रों में निर्णय लेने में सहायक होती है। वर्तमान प्रश्न में, एक हल्की धातु कंपनी दो उत्पादों A और B के उत्पादन के माध्यम से अपने कुल लाभ को अधिकतम करना चाहती है, जिसके लिए सीमित संसाधन (अनुभाग L और M में मशीन समय) उपलब्ध हैं। इस समस्या को रैखिक प्रोग्रामिंग के माध्यम से हल किया जा सकता है, जिससे कंपनी को उत्पादन का इष्टतम मिश्रण निर्धारित करने में मदद मिलेगी।
समस्या का गणितीय निरूपण
मान लीजिए:
- x = उत्पाद A की इकाइयों की संख्या
- y = उत्पाद B की इकाइयों की संख्या
उद्देश्य फलन (Objective Function): कंपनी का कुल लाभ अधिकतम करना है, जो निम्न प्रकार से व्यक्त किया जा सकता है:
Z = 3.50x + 5.00y (अधिकतमीकरण के लिए)
बाधाएं (Constraints):
- अनुभाग L के लिए: 2x + y ≤ 6000
- अनुभाग M के लिए: x + 4y ≤ 10000
- गैर-नकारात्मकता बाधाएं: x ≥ 0, y ≥ 0
ग्राफिकल विधि से समाधान
इस समस्या को ग्राफिकल विधि से हल करने के लिए, हमें पहले बाधाओं को ग्राफ पर प्लॉट करना होगा। फिर, हम व्यवहार्य क्षेत्र (Feasible Region) की पहचान करेंगे, जो सभी बाधाओं को संतुष्ट करता है। अंत में, हम व्यवहार्य क्षेत्र के कोने के बिंदुओं (Corner Points) पर उद्देश्य फलन का मूल्यांकन करेंगे और वह बिंदु ढूंढेंगे जो अधिकतम लाभ प्रदान करता है।
बाधाओं का ग्राफिकल निरूपण
2x + y = 6000 को ग्राफ पर एक रेखा के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसी प्रकार, x + 4y = 10000 को भी ग्राफ पर एक रेखा के रूप में दर्शाया जा सकता है। व्यवहार्य क्षेत्र इन रेखाओं और x ≥ 0, y ≥ 0 द्वारा सीमित क्षेत्र होगा।
कोने के बिंदु और उद्देश्य फलन का मूल्यांकन
व्यवहार्य क्षेत्र के कोने के बिंदु निम्नलिखित होंगे:
- (0, 0)
- (3000, 0)
- (0, 2500)
- प्रतिच्छेदन बिंदु: 2x + y = 6000 और x + 4y = 10000 को हल करने पर, हमें x = 1600 और y = 2800 प्राप्त होता है।
अब, हम इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन Z = 3.50x + 5.00y का मूल्यांकन करेंगे:
| बिंदु (x, y) | Z = 3.50x + 5.00y |
|---|---|
| (0, 0) | 0 |
| (3000, 0) | 10500 |
| (0, 2500) | 12500 |
| (1600, 2800) | 5600 + 14000 = 19600 |
अधिकतम लाभ बिंदु (1600, 2800) पर प्राप्त होता है, जहां Z = 19600 है।
निष्कर्ष
कंपनी को अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए उत्पाद A की 1600 इकाइयां और उत्पाद B की 2800 इकाइयां बनानी चाहिए। इस उत्पादन मिश्रण से कंपनी को ₹ 19600 का अधिकतम लाभ होगा। यह समाधान रैखिक प्रोग्रामिंग की शक्ति को दर्शाता है, जो सीमित संसाधनों के साथ इष्टतम निर्णय लेने में मदद करता है।
Conclusion
इस समस्या का समाधान रैखिक प्रोग्रामिंग के माध्यम से किया गया, जिससे कंपनी को अपने लाभ को अधिकतम करने के लिए उत्पादन का इष्टतम मिश्रण निर्धारित करने में मदद मिली। यह तकनीक विभिन्न उद्योगों में संसाधन आवंटन और निर्णय लेने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है। भविष्य में, कंपनी उत्पादन प्रक्रिया को और अधिक अनुकूलित करने के लिए अन्य उन्नत तकनीकों, जैसे कि पूर्णांक प्रोग्रामिंग (Integer Programming) का उपयोग कर सकती है।
Answer Length
This is a comprehensive model answer for learning purposes and may exceed the word limit. In the exam, always adhere to the prescribed word count.