Model Answer
0 min readIntroduction
रैखिक प्रोग्रामिंग (Linear Programming) एक गणितीय तकनीक है जिसका उपयोग सीमित संसाधनों के तहत किसी उद्देश्य को अधिकतम या न्यूनतम करने के लिए किया जाता है। यह प्रबंधन, अर्थशास्त्र, इंजीनियरिंग और अन्य क्षेत्रों में निर्णय लेने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है। रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या को एक उद्देश्य फलन और कुछ बाधाओं द्वारा परिभाषित किया जाता है। उद्देश्य फलन वह मात्रा है जिसे हम अधिकतम या न्यूनतम करना चाहते हैं, जबकि बाधाएं उन सीमाओं को दर्शाती हैं जो हमारे पास उपलब्ध संसाधनों पर हैं। इस प्रश्न में, हमें एक समस्या को रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या के रूप में सूत्रित करने के लिए कहा गया है, जिसका अर्थ है कि हमें उद्देश्य फलन और बाधाओं को गणितीय रूप में व्यक्त करना होगा।
समस्या का चयन और निरूपण
मान लीजिए कि एक किसान के पास 100 हेक्टेयर भूमि है। वह गेहूं और चावल की खेती करना चाहता है। गेहूं की खेती के लिए प्रति हेक्टेयर 20,000 रुपये की लागत आती है और चावल की खेती के लिए प्रति हेक्टेयर 30,000 रुपये की लागत आती है। किसान के पास 15,00,000 रुपये की पूंजी है। गेहूं की खेती से प्रति हेक्टेयर 50,000 रुपये का लाभ होता है और चावल की खेती से प्रति हेक्टेयर 70,000 रुपये का लाभ होता है। किसान को यह निर्धारित करना है कि उसे गेहूं और चावल की कितनी भूमि पर खेती करनी चाहिए ताकि उसका लाभ अधिकतम हो सके।
चरों का निर्धारण
मान लीजिए:
- x = गेहूं की खेती की गई भूमि (हेक्टेयर में)
- y = चावल की खेती की गई भूमि (हेक्टेयर में)
उद्देश्य फलन का निर्माण
किसान का उद्देश्य लाभ को अधिकतम करना है। लाभ फलन (Z) को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: Z = 50,000x + 70,000y (जहां Z कुल लाभ है)
बाधाओं का निरूपण
इस समस्या में निम्नलिखित बाधाएं हैं:
- भूमि की बाधा: x + y ≤ 100 (कुल भूमि 100 हेक्टेयर से अधिक नहीं हो सकती)
- पूंजी की बाधा: 20,000x + 30,000y ≤ 15,00,000 (कुल पूंजी 15,00,000 रुपये से अधिक नहीं हो सकती)
- गैर-नकारात्मकता बाधाएं: x ≥ 0, y ≥ 0 (खेती की गई भूमि ऋणात्मक नहीं हो सकती)
रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का पूर्ण निरूपण
इस प्रकार, रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या को इस प्रकार सूत्रित किया जा सकता है:
अधिकतम करें: Z = 50,000x + 70,000y
बाधाएं:
- x + y ≤ 100
- 20,000x + 30,000y ≤ 15,00,000
- x ≥ 0
- y ≥ 0
उदाहरण तालिका
| घटक | विवरण |
|---|---|
| उद्देश्य फलन | लाभ को अधिकतम करना (Z = 50,000x + 70,000y) |
| चर | x = गेहूं की भूमि, y = चावल की भूमि |
| बाधाएं | भूमि, पूंजी और गैर-नकारात्मकता |
Conclusion
संक्षेप में, हमने एक वास्तविक दुनिया की समस्या (किसान की भूमि उपयोग योजना) को रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या के रूप में सफलतापूर्वक सूत्रित किया है। इसमें उद्देश्य फलन (लाभ को अधिकतम करना) और बाधाओं (भूमि और पूंजी की उपलब्धता) को परिभाषित करना शामिल था। यह उदाहरण दर्शाता है कि रैखिक प्रोग्रामिंग का उपयोग सीमित संसाधनों के तहत इष्टतम निर्णय लेने के लिए कैसे किया जा सकता है। इस समस्या को आगे ग्राफिक विधि या सिम्प्लेक्स विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है ताकि गेहूं और चावल की खेती के लिए इष्टतम भूमि आवंटन निर्धारित किया जा सके।
Answer Length
This is a comprehensive model answer for learning purposes and may exceed the word limit. In the exam, always adhere to the prescribed word count.