Model Answer
0 min readIntroduction
उत्पादन प्रबंधन में, इष्टतम उत्पादन समय-सारणी का निर्धारण एक महत्वपूर्ण कार्य है। इसका उद्देश्य सीमित संसाधनों का उपयोग करते हुए अधिकतम लाभ प्राप्त करना होता है। यह समस्या अक्सर रैखिक प्रोग्रामिंग तकनीकों का उपयोग करके हल की जाती है, जिसमें उद्देश्य फलन (Objective Function) को अधिकतम या न्यूनतम करना होता है, जबकि कुछ बाधाओं (Constraints) का पालन करना होता है। ग्राफीय विधि रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करने का एक सरल और दृश्य तरीका है, खासकर जब दो चर शामिल हों। यह विधि उत्पादन योजना और संसाधन आवंटन में निर्णय लेने में सहायक होती है।
उत्पादन समय-सारणी का अनुकूलन: एक ग्राफीय दृष्टिकोण
किसी भी उत्पादन समस्या को हल करने के लिए, सबसे पहले समस्या को गणितीय रूप में व्यक्त करना आवश्यक है। मान लीजिए कि एक कंपनी दो उत्पाद, A और B बनाती है। प्रत्येक उत्पाद को बनाने में विभिन्न संसाधनों (जैसे श्रम, सामग्री) की आवश्यकता होती है, और प्रत्येक उत्पाद को बेचने पर अलग-अलग लाभ होता है।
1. समस्या का निरूपण (Problem Formulation)
मान लीजिए:
- x = उत्पाद A की मात्रा
- y = उत्पाद B की मात्रा
- लाभ फलन (Objective Function): Z = c1x + c2y (जहां c1 और c2 क्रमशः उत्पाद A और B से लाभ हैं)
- बाधाएं (Constraints):
- a1x + b1y ≤ d1 (संसाधन 1 की उपलब्धता)
- a2x + b2y ≤ d2 (संसाधन 2 की उपलब्धता)
- x ≥ 0, y ≥ 0 (गैर-नकारात्मकता बाधाएं)
2. ग्राफीय विधि (Graphical Method)
ग्राफीय विधि में निम्नलिखित चरण शामिल हैं:
- बाधाओं को रेखाओं के रूप में आलेखित करें: प्रत्येक बाधा को एक समीकरण के रूप में लिखें और फिर उन्हें ग्राफ पर आलेखित करें।
- संभाव्य क्षेत्र (Feasible Region) निर्धारित करें: वह क्षेत्र जो सभी बाधाओं को संतुष्ट करता है, संभाव्य क्षेत्र कहलाता है।
- इष्टतम समाधान (Optimal Solution) ज्ञात करें: लाभ फलन को संभाव्य क्षेत्र के कोने बिंदुओं पर मूल्यांकन करें। वह बिंदु जहां लाभ फलन अधिकतम होता है, इष्टतम समाधान होता है।
3. उदाहरण (Example)
मान लीजिए कि एक कंपनी दो उत्पाद, X और Y बनाती है। उत्पाद X को बनाने में 2 घंटे श्रम और 1 इकाई सामग्री लगती है, और इसे ₹50 प्रति इकाई लाभ होता है। उत्पाद Y को बनाने में 1 घंटा श्रम और 3 इकाई सामग्री लगती है, और इसे ₹40 प्रति इकाई लाभ होता है। कंपनी के पास प्रति सप्ताह 100 घंटे श्रम और 90 इकाई सामग्री उपलब्ध है।
समस्या का निरूपण:
- x = उत्पाद X की मात्रा
- y = उत्पाद Y की मात्रा
- लाभ फलन: Z = 50x + 40y
- बाधाएं:
- 2x + y ≤ 100 (श्रम बाधा)
- x + 3y ≤ 90 (सामग्री बाधा)
- x ≥ 0, y ≥ 0
ग्राफीय समाधान:
बाधाओं को आलेखित करने और संभाव्य क्षेत्र निर्धारित करने के बाद, कोने बिंदुओं को ज्ञात करें। इस उदाहरण में, कोने बिंदु (0,0), (50,0), (0,30), और (40,20) हैं।
| कोने बिंदु | लाभ (Z) |
|---|---|
| (0,0) | 0 |
| (50,0) | 2500 |
| (0,30) | 1200 |
| (40,20) | 3200 |
इसलिए, इष्टतम समाधान (40, 20) है, जिसका अर्थ है कि कंपनी को उत्पाद X की 40 इकाइयां और उत्पाद Y की 20 इकाइयां बनानी चाहिए ताकि अधिकतम लाभ ₹3200 प्राप्त हो सके।
4. अन्य विधियाँ (Other Methods)
ग्राफीय विधि के अलावा, रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करने के लिए सिम्प्लेक्स विधि (Simplex Method) और आंतरिक बिंदु विधियाँ (Interior Point Methods) जैसी अन्य विधियाँ भी उपलब्ध हैं। ये विधियाँ अधिक जटिल समस्याओं के लिए उपयुक्त हैं जिनमें बड़ी संख्या में चर और बाधाएं शामिल हैं।
Conclusion
उत्पादन समय-सारणी का अनुकूलन एक महत्वपूर्ण प्रबंधन कार्य है जो संसाधनों का कुशल उपयोग सुनिश्चित करता है और लाभ को अधिकतम करता है। ग्राफीय विधि एक सरल और प्रभावी तकनीक है जिसका उपयोग दो चर वाली समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है। अधिक जटिल समस्याओं के लिए, सिम्प्लेक्स विधि और आंतरिक बिंदु विधियाँ जैसे उन्नत तकनीकों का उपयोग किया जा सकता है। उत्पादन योजना में लचीलापन और बदलते बाजार की स्थितियों के अनुकूलन की क्षमता भी महत्वपूर्ण है।
Answer Length
This is a comprehensive model answer for learning purposes and may exceed the word limit. In the exam, always adhere to the prescribed word count.