Model Answer
0 min readIntroduction
सांख्यिकी में, गुणवत्ता नियंत्रण और उत्पादन प्रक्रियाओं में औसत समय और विचलन का आकलन करना महत्वपूर्ण है। एक मशीन औजारों का विनिर्माता अपनी विद्युत् आरी के समुच्चययन में लगने वाले औसत समय का दावा करता है। यह प्रश्न हमें यह निर्धारित करने के लिए कहता है कि नमूना औसत 88 मिनटों से अधिक होने की प्रायिकता क्या है, यह मानते हुए कि जनसंख्या का औसत 80 मिनट और मानक विचलन 40 मिनट है। इस समस्या को हल करने के लिए, हम केंद्रीय सीमा प्रमेय और सामान्य वितरण (normal distribution) की अवधारणाओं का उपयोग करेंगे।
समस्या का विश्लेषण
हमें निम्नलिखित जानकारी दी गई है:
- जनसंख्या औसत (μ) = 80 मिनट
- जनसंख्या मानक विचलन (σ) = 40 मिनट
- नमूना औसत (x̄) = 88 मिनट
हमें P(x̄ > 88) ज्ञात करना है।
केंद्रीय सीमा प्रमेय (Central Limit Theorem) का उपयोग
केंद्रीय सीमा प्रमेय के अनुसार, यदि हमारे पास एक बड़ी संख्या में स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर हैं, तो नमूना माध्य लगभग सामान्य रूप से वितरित होगा, भले ही मूल जनसंख्या सामान्य रूप से वितरित न हो।
नमूना माध्य का मानक त्रुटि (Standard Error)
नमूना माध्य का मानक त्रुटि (SE) जनसंख्या मानक विचलन को नमूना आकार के वर्गमूल से विभाजित करके गणना की जाती है। चूंकि नमूना आकार निर्दिष्ट नहीं है, इसलिए हम मान लेंगे कि नमूना आकार 'n' है।
SE = σ / √n = 40 / √n
Z-स्कोर की गणना
Z-स्कोर हमें बताता है कि नमूना माध्य जनसंख्या औसत से कितने मानक त्रुटियां दूर है। Z-स्कोर की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:
Z = (x̄ - μ) / SE = (88 - 80) / (40 / √n) = 8 / (40 / √n) = √n / 5
प्रायिकता की गणना
हमें P(x̄ > 88) ज्ञात करना है, जो कि P(Z > √n / 5) के बराबर है। इस प्रायिकता को ज्ञात करने के लिए, हमें Z-टेबल (Z-table) या सांख्यिकीय सॉफ़्टवेयर का उपयोग करना होगा।
उदाहरण के लिए, यदि n = 25 है, तो:
Z = √25 / 5 = 5 / 5 = 1
P(Z > 1) = 1 - P(Z ≤ 1) = 1 - 0.8413 = 0.1587 (Z-टेबल से)
इसलिए, यदि नमूना आकार 25 है, तो नमूना औसत 88 मिनटों से अधिक होने की प्रायिकता लगभग 0.1587 या 15.87% है।
विभिन्न नमूना आकारों के लिए प्रायिकता
| नमूना आकार (n) | Z-स्कोर | P(x̄ > 88) |
|---|---|---|
| 16 | 0.8 | 0.2119 |
| 25 | 1.0 | 0.1587 |
| 36 | 1.2 | 0.1151 |
| 64 | 1.6 | 0.0548 |
Conclusion
संक्षेप में, नमूना औसत 88 मिनटों से अधिक होने की प्रायिकता नमूना आकार पर निर्भर करती है। जैसे-जैसे नमूना आकार बढ़ता है, प्रायिकता घटती जाती है। इस प्रश्न को हल करने के लिए केंद्रीय सीमा प्रमेय और Z-स्कोर की अवधारणाओं का उपयोग करना आवश्यक है। वास्तविक दुनिया में, विनिर्माता को यह सुनिश्चित करने के लिए नमूना आकार का सावधानीपूर्वक चयन करना चाहिए कि उसके दावे की प्रायिकता स्वीकार्य स्तर पर हो।
Answer Length
This is a comprehensive model answer for learning purposes and may exceed the word limit. In the exam, always adhere to the prescribed word count.