Model Answer
0 min readIntroduction
समाश्रयण विश्लेषण (Regression analysis) एक सांख्यिकीय तकनीक है जिसका उपयोग दो या दो से अधिक चरों के बीच संबंध का अध्ययन करने के लिए किया जाता है। यह तकनीक एक आश्रित चर (dependent variable) और एक या अधिक स्वतंत्र चरों (independent variables) के बीच संबंध को मॉडल करने में मदद करती है। अंतःखंड (intercept) और प्रवणता (slope) समाश्रयण रेखा के दो महत्वपूर्ण घटक हैं, जो क्रमशः आश्रित चर के प्रारंभिक मान और स्वतंत्र चर में एक इकाई परिवर्तन के कारण आश्रित चर में परिवर्तन की दर को दर्शाते हैं। प्रागुक्त्तीय समाश्रयण निदर्श (predictive regression model) भविष्य के मूल्यों का अनुमान लगाने के लिए इन मानों का उपयोग करता है।
अंतःखंड और प्रवणता की अवधारणा
समाश्रयण रेखा को समीकरण y = a + bx द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ:
- y आश्रित चर है
- x स्वतंत्र चर है
- a अंतःखंड है
- b प्रवणता है
अंतःखंड (a): यह वह मान है जहाँ समाश्रयण रेखा y-अक्ष को काटती है। यह आश्रित चर का मान है जब स्वतंत्र चर शून्य होता है।
प्रवणता (b): यह समाश्रयण रेखा की ढलान को दर्शाता है। यह बताता है कि स्वतंत्र चर में एक इकाई परिवर्तन होने पर आश्रित चर में कितना परिवर्तन होगा।
प्रागुक्त्तीय समाश्रयण निदर्श का विकास
प्रागुक्त्तीय समाश्रयण निदर्श विकसित करने के लिए निम्नलिखित चरणों का पालन किया जाता है:
चरण 1: डेटा संग्रह और तैयारी
सबसे पहले, प्रासंगिक डेटा एकत्र किया जाता है और उसे विश्लेषण के लिए तैयार किया जाता है। इसमें डेटा की सफाई, लापता मूल्यों को संभालना और बाहरी मूल्यों (outliers) की पहचान करना शामिल है।
चरण 2: अंतःखंड (a) और प्रवणता (b) का अनुमान
अंतःखंड और प्रवणता का अनुमान लगाने के लिए न्यूनतम वर्ग विधि (least squares method) का उपयोग किया जाता है। यह विधि त्रुटियों के वर्गों के योग को कम करती है।
प्रवणता (b) की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:
b = Σ[(xi - x̄)(yi - ȳ)] / Σ[(xi - x̄)²]
जहां:
- xi स्वतंत्र चर का मान है
- yi आश्रित चर का मान है
- x̄ स्वतंत्र चर का माध्य है
- ȳ आश्रित चर का माध्य है
अंतःखंड (a) की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:
a = ȳ - bx̄
चरण 3: निदर्श का मूल्यांकन
निदर्श की सटीकता का मूल्यांकन करने के लिए R-वर्ग (R-squared) और मानक त्रुटि (standard error) जैसे सांख्यिकीय उपायों का उपयोग किया जाता है। R-वर्ग बताता है कि स्वतंत्र चर आश्रित चर में कितना विचरण (variance) समझाते हैं।
चरण 4: भविष्यवाणियां करना
एक बार निदर्श विकसित हो जाने के बाद, इसका उपयोग भविष्य के मूल्यों का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है। इसके लिए, स्वतंत्र चर के नए मानों को समाश्रयण समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है।
उदाहरण
मान लीजिए कि हम विज्ञापन व्यय (x) और बिक्री (y) के बीच संबंध का अध्ययन करना चाहते हैं। हमने निम्नलिखित डेटा एकत्र किया:
| विज्ञापन व्यय (x) | बिक्री (y) |
|---|---|
| 10 | 20 |
| 20 | 40 |
| 30 | 60 |
उपरोक्त डेटा का उपयोग करके, हम अंतःखंड और प्रवणता का अनुमान लगा सकते हैं और एक प्रागुक्त्तीय समाश्रयण निदर्श विकसित कर सकते हैं।
Conclusion
प्रागुक्त्तीय समाश्रयण निदर्श एक शक्तिशाली उपकरण है जिसका उपयोग भविष्य के मूल्यों का अनुमान लगाने और दो या दो से अधिक चरों के बीच संबंध को समझने के लिए किया जा सकता है। अंतःखंड और प्रवणता निदर्श के महत्वपूर्ण घटक हैं, और उनका सही अनुमान निदर्श की सटीकता के लिए आवश्यक है। डेटा संग्रह, निदर्श मूल्यांकन और भविष्यवाणियों की व्याख्या में सावधानी बरतना महत्वपूर्ण है।
Answer Length
This is a comprehensive model answer for learning purposes and may exceed the word limit. In the exam, always adhere to the prescribed word count.