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UPSC MainsMANAGEMENT-PAPER-II201910 Marks

Q1.

रैखिक प्रोग्रामिंग: रसायन उत्पादन अनुकूलन

एक रसायन कम्पनी दो रासायनिक उत्पादों : 'अ' और 'ब' का उत्पादन करती है । दोनों उत्पादों के उत्पादन हेतु समान प्रक्रिया, 'I' व 'II' की आवश्यकता होती है । 'ब' के उत्पादनस्वरूप एक उप-उत्पाद 'स' भी बिना किसी अतिरिक्त लागत के प्राप्त होता है । उत्पाद 'अ' प्रति इकाई ₹ 3 के लाभ और 'ब' प्रति इकाई ₹8 के लाभ पर बेचे जा सकते हैं । इसमें से कुछ उप-उत्पाद प्रति इकाई ₹2 के लाभ पर बेचे जा सकते हैं, शेष को विनष्ट करना होगा और विनष्ट करने की प्रति इकाई लागत ₹ 1 है । पूर्वानुमान दर्शाते हैं कि 'स' की 5 इकाइयों तक को बेचा जा सकता है । कम्पनी 'ब' के प्रति इकाई उत्पादन पर 'स' की 3 इकाइयाँ प्राप्त करती है । 'अ' की प्रति इकाई विनिर्माण करने में प्रक्रिया 'I' व 'II' में 3 घंटे प्रत्येक का समय लगता है और 'ब' की प्रति इकाई विनिर्माण करने में प्रक्रिया 'I' व 'II' में क्रमशः 4 घंटे तथा 5 घंटे का समय लगता है । चूँकि उत्पाद 'स', 'ब' की उत्पादन प्रक्रिया का परिणाम है, 'स' के उत्पादन में कोई समय नहीं लगाया जाता है । प्रक्रिया 'I' व 'II' हेतु उपलब्ध समय क्रमशः 18 और 21 घंटे हैं । इस समस्या का प्रतिपादन, कम्पनी को उच्चतम लाभ हेतु, 'स' को ध्यान में रखते हुए, 'अ' व 'ब' की उत्पादित की जाने वाली मात्रा का निर्धारण, एक एल.पी. मॉडल के रूप में कीजिए ।

How to Approach

इस प्रश्न को रैखिक प्रोग्रामिंग (Linear Programming - LP) मॉडल के रूप में प्रस्तुत करने की आवश्यकता है। सबसे पहले, समस्या को समझें और निर्णय चर (Decision Variables) को परिभाषित करें। फिर, उद्देश्य फलन (Objective Function) को स्पष्ट करें, जो लाभ को अधिकतम करने का लक्ष्य रखता है। अंत में, बाधाओं (Constraints) को गणितीय रूप में व्यक्त करें, जो उपलब्ध संसाधनों (प्रक्रिया I और II का समय) और 'स' की बिक्री की सीमा को दर्शाती हैं। उत्तर में सभी चर, उद्देश्य फलन और बाधाओं को स्पष्ट रूप से दर्शाया जाना चाहिए।

Model Answer

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Introduction

रैखिक प्रोग्रामिंग (LP) एक गणितीय तकनीक है जिसका उपयोग सीमित संसाधनों के तहत किसी उद्देश्य फलन को अधिकतम या न्यूनतम करने के लिए किया जाता है। यह संचालन प्रबंधन (Operations Management) में एक महत्वपूर्ण उपकरण है, जिसका उपयोग उत्पादन योजना, संसाधन आवंटन और परिवहन जैसे विभिन्न क्षेत्रों में निर्णय लेने के लिए किया जाता है। वर्तमान प्रश्न में, एक रसायन कंपनी दो उत्पादों 'अ' और 'ब' के उत्पादन के लिए एक LP मॉडल विकसित करने का प्रयास कर रही है, जिसमें एक उप-उत्पाद 'स' भी शामिल है। इस मॉडल का उद्देश्य कंपनी के लाभ को अधिकतम करना है, जबकि प्रक्रिया I और II के लिए उपलब्ध समय और 'स' की बिक्री की सीमा जैसी बाधाओं को ध्यान में रखा जाए।

समस्या का प्रतिपादन (Formulation of the Problem)

यह समस्या एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या है जिसे निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

1. निर्णय चर (Decision Variables):

x₁ = उत्पाद 'अ' की उत्पादित इकाइयाँ
x₂ = उत्पाद 'ब' की उत्पादित इकाइयाँ

2. उद्देश्य फलन (Objective Function):

कंपनी का उद्देश्य लाभ को अधिकतम करना है। लाभ फलन (Z) को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

Z = 3x₁ + 8x₂ + 2s

जहां:

3x₁ उत्पाद 'अ' से लाभ
8x₂ उत्पाद 'ब' से लाभ
2s उप-उत्पाद 'स' से लाभ

3. बाधाएँ (Constraints):

प्रक्रिया I की समय बाधा: 3x₁ + 4x₂ ≤ 18
प्रक्रिया II की समय बाधा: 3x₁ + 5x₂ ≤ 21
उप-उत्पाद 'स' की उत्पादन बाधा: s = 3x₂
उप-उत्पाद 'स' की बिक्री बाधा: s ≤ 5
गैर-नकारात्मकता बाधाएँ: x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, s ≥ 0

4. मॉडल का पूर्ण रूप (Complete Model):

अधिकतम करें: Z = 3x₁ + 8x₂ + 2s

बाधाओं के अधीन:

3x₁ + 4x₂ ≤ 18
3x₁ + 5x₂ ≤ 21
s = 3x₂
s ≤ 5
x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, s ≥ 0

5. मॉडल का सरलीकरण (Simplification of the Model):

चूंकि s = 3x₂ है, इसलिए हम इसे उद्देश्य फलन और अन्य बाधाओं में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

अधिकतम करें: Z = 3x₁ + 8x₂ + 2(3x₂) = 3x₁ + 14x₂

बाधाएँ:

3x₁ + 4x₂ ≤ 18
3x₁ + 5x₂ ≤ 21
3x₂ ≤ 5 (s ≤ 5 से)
x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0

यह सरलीकृत मॉडल अब रैखिक प्रोग्रामिंग तकनीकों (जैसे कि सिम्प्लेक्स विधि) का उपयोग करके हल किया जा सकता है ताकि 'अ' और 'ब' की उत्पादित मात्रा निर्धारित की जा सके जो कंपनी के लाभ को अधिकतम करेगी।

Conclusion

उपरोक्त LP मॉडल रसायन कंपनी को 'अ' और 'ब' उत्पादों की इष्टतम उत्पादन मात्रा निर्धारित करने में मदद करेगा, जबकि प्रक्रिया I और II के लिए उपलब्ध समय और उप-उत्पाद 'स' की बिक्री की सीमा को ध्यान में रखेगा। इस मॉडल को हल करके, कंपनी अपने लाभ को अधिकतम कर सकती है और संसाधनों का कुशलतापूर्वक उपयोग कर सकती है। यह मॉडल उत्पादन योजना और संसाधन आवंटन के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है।

Answer Length

This is a comprehensive model answer for learning purposes and may exceed the word limit. In the exam, always adhere to the prescribed word count.

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Additional Resources

Key Definitions

रैखिक प्रोग्रामिंग (Linear Programming)

रैखिक प्रोग्रामिंग एक गणितीय विधि है जिसका उपयोग रैखिक संबंधों के अधीन एक उद्देश्य फलन को अधिकतम या न्यूनतम करने के लिए किया जाता है।

उद्देश्य फलन (Objective Function)

उद्देश्य फलन एक गणितीय अभिव्यक्ति है जिसे रैखिक प्रोग्रामिंग में अधिकतम या न्यूनतम करने का प्रयास किया जाता है।

Key Statistics

भारत में रसायन उद्योग का आकार 2023 में लगभग $220 बिलियन था और यह 2028 तक $300 बिलियन तक पहुंचने का अनुमान है।

Source: Department of Chemicals and Petrochemicals, Government of India (2023)

भारत सरकार ने रसायन और पेट्रोकेमिकल उद्योग में अनुसंधान और विकास (R&D) के लिए 2024-25 तक ₹500 करोड़ के बजट का आवंटन किया है।

Source: Press Information Bureau, Government of India (2024)

Examples

उत्पादन मिश्रण समस्या (Production Mix Problem)

एक कंपनी विभिन्न उत्पादों का उत्पादन करती है और प्रत्येक उत्पाद के उत्पादन के लिए सीमित संसाधन उपलब्ध हैं। रैखिक प्रोग्रामिंग का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि प्रत्येक उत्पाद की कितनी मात्रा का उत्पादन किया जाना चाहिए ताकि लाभ को अधिकतम किया जा सके।

Frequently Asked Questions

▶रैखिक प्रोग्रामिंग का उपयोग किन क्षेत्रों में किया जाता है?

रैखिक प्रोग्रामिंग का उपयोग उत्पादन योजना, संसाधन आवंटन, परिवहन, वित्त, और विपणन जैसे विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है।

Topics Covered

संचालन प्रबंधनगणितरैखिक प्रोग्रामिंग, अनुकूलन, उत्पादन योजना

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