Model Answer
0 min readIntroduction
रैखिक प्रोग्रामिंग (Linear Programming) एक गणितीय तकनीक है जिसका उपयोग सीमित संसाधनों के साथ किसी उद्देश्य को अधिकतम या न्यूनतम करने के लिए किया जाता है। यह तकनीक विभिन्न क्षेत्रों जैसे उत्पादन, परिवहन, वित्त और विपणन में निर्णय लेने में मदद करती है। विश्वविद्यालय के रसायनशास्त्र विभाग की इस समस्या में, हमें न्यूनतम लागत पर रसायनों की आवश्यक मात्रा प्राप्त करने के लिए बक्सों की संख्या निर्धारित करनी है। यह एक अनुकूलन (Optimization) समस्या है जिसे रैखिक प्रोग्रामिंग के माध्यम से हल किया जा सकता है।
समस्या का सूत्रीकरण (Problem Formulation)
मान लीजिए:
- x = बक्सा A की संख्या
- y = बक्सा B की संख्या
उद्देश्य फलन (Objective Function):
कुल लागत को न्यूनतम करना है, इसलिए उद्देश्य फलन होगा:
Z = 300x + 200y (न्यूनतम)
बाधाएं (Constraints):
- रसायन X की आवश्यकता: 3x + y ≥ 10
- रसायन Y की आवश्यकता: 2x + 2y ≥ 12
- रसायन Z की आवश्यकता: x + 2y ≥ 7
- गैर-नकारात्मकता बाधाएं: x ≥ 0, y ≥ 0
ग्राफिक विधि से समाधान (Graphical Method Solution)
1. बाधाओं को रेखाओं के रूप में चित्रित करना (Plotting Constraints as Lines)
प्रत्येक बाधा को एक रेखा के रूप में ग्राफ पर चित्रित करें।
- 3x + y = 10
- 2x + 2y = 12 या x + y = 6
- x + 2y = 7
2. स्वीकार्य क्षेत्र (Feasible Region) ज्ञात करना
प्रत्येक बाधा के लिए, जांचें कि मूल बिंदु (0,0) बाधा को संतुष्ट करता है या नहीं। यदि संतुष्ट करता है, तो रेखा के उस तरफ का क्षेत्र स्वीकार्य होगा। सभी बाधाओं को संतुष्ट करने वाला क्षेत्र स्वीकार्य क्षेत्र होगा।
3. उद्देश्य फलन का मूल्यांकन (Evaluating Objective Function)
स्वीकार्य क्षेत्र के कोने के बिंदुओं (Corner Points) को ज्ञात करें। इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन Z = 300x + 200y का मूल्यांकन करें। जिस बिंदु पर Z का मान न्यूनतम होगा, वह इष्टतम समाधान होगा।
कोने के बिंदु (Corner Points) ज्ञात करने के लिए, रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं (Intersection Points) को हल करें:
- 3x + y = 10 और x + y = 6 को हल करने पर, x = 4, y = 2
- 3x + y = 10 और x + 2y = 7 को हल करने पर, x = 3, y = 1
- x + y = 6 और x + 2y = 7 को हल करने पर, x = 5, y = 1
अब, इन बिंदुओं पर Z का मान ज्ञात करें:
| बिंदु (Point) | Z = 300x + 200y |
|---|---|
| (4, 2) | 300(4) + 200(2) = 1200 + 400 = 1600 |
| (3, 1) | 300(3) + 200(1) = 900 + 200 = 1100 |
| (5, 1) | 300(5) + 200(1) = 1500 + 200 = 1700 |
न्यूनतम लागत (1100) बिंदु (3, 1) पर प्राप्त होती है। इसलिए, विभाग को बक्सा A के 3 और बक्सा B का 1 खरीदना चाहिए।
Conclusion
इस समस्या का समाधान रैखिक प्रोग्रामिंग के माध्यम से किया गया। ग्राफिक विधि का उपयोग करके, हमने पाया कि रसायनशास्त्र विभाग को न्यूनतम लागत (₹1100) पर रसायनों की आवश्यक मात्रा प्राप्त करने के लिए बक्सा A के 3 और बक्सा B का 1 खरीदना चाहिए। यह तकनीक सीमित संसाधनों के साथ अनुकूलतम निर्णय लेने में सहायक है और विभिन्न संगठनात्मक समस्याओं को हल करने के लिए उपयोगी है।
Answer Length
This is a comprehensive model answer for learning purposes and may exceed the word limit. In the exam, always adhere to the prescribed word count.