संभाव्यता: बहुविकल्पी प्रश्नों का अनुमान

द्विपद वितरण का सिद्धांत

द्विपद वितरण एक असतत प्रायिकता वितरण है जो n स्वतंत्र परीक्षणों में k सफलताओं की संभावना का वर्णन करता है, जहाँ प्रत्येक परीक्षण में सफलता की संभावना p होती है। द्विपद वितरण का सूत्र इस प्रकार है:

P(X = k) = ⁿC_k * p^k * (1 - p)^{(n - k)}

जहाँ:

• P(X = k) = k सफलताओं की संभावना
• n = परीक्षणों की संख्या
• k = सफलताओं की संख्या
• p = प्रत्येक परीक्षण में सफलता की संभावना
• ⁿC_k = n में से k वस्तुओं को चुनने के तरीकों की संख्या (संयोजन)

प्रश्न का विश्लेषण

इस प्रश्न में:

• n = 9 (प्रश्नों की संख्या)
• k = 6 (सही उत्तरों की संख्या)
• p = 1/4 = 0.25 (प्रत्येक प्रश्न के सही उत्तर की संभावना, क्योंकि 4 विकल्प हैं और केवल 1 सही है)
• (1 - p) = 3/4 = 0.75 (प्रत्येक प्रश्न के गलत उत्तर की संभावना)

गणना

अब, हम द्विपद वितरण सूत्र का उपयोग करके 6 सही उत्तरों की संभावना की गणना करेंगे:

P(X = 6) = ⁹C₆ * (0.25)⁶ * (0.75)^{(9 - 6)}

सबसे पहले, हम ⁹C₆ की गणना करेंगे:

⁹C₆ = 9! / (6! * (9 - 6)!) = 9! / (6! * 3!) = (9 * 8 * 7) / (3 * 2 * 1) = 84

अब, हम सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करेंगे:

P(X = 6) = 84 * (0.25)⁶ * (0.75)³

P(X = 6) = 84 * (0.000244140625) * (0.421875)

P(X = 6) = 84 * 0.0001029033203125

P(X = 6) ≈ 0.00864387890625

निष्कर्ष

इसलिए, विद्यार्थी के 9 प्रश्नों में से ठीक 6 सही उत्तर चुनने की संभावना लगभग 0.00864 है, या 0.864%।