7. (a) स्टूडेंट का t-परीक्षण क्या है और जैविक अनुसन्धान में इसका क्या महत्त्व है? सरल डेटा का उपयोग करते हुए t-परीक्षण के सूत्र और इसके विभिन्न चरणों का वर्णन कीजिए।

स्टूडेंट का t-परीक्षण क्या है?

स्टूडेंट का t-परीक्षण एक प्राचल (parametric) सांख्यिकीय परिकल्पना परीक्षण है जिसका उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि दो स्वतंत्र समूहों के माध्यों (means) के बीच सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण अंतर है या नहीं। यह तब लागू होता है जब परीक्षण के आँकड़े 'शून्य परिकल्पना' (null hypothesis) के तहत स्टूडेंट के t-वितरण का अनुसरण करते हैं। यह विशेष रूप से छोटे नमूना आकार वाले डेटासेट के लिए उपयुक्त है और यह मानता है कि डेटा सामान्य रूप से वितरित है और समूहों की भिन्नता (variance) समान है।

जैविक अनुसंधान में t-परीक्षण का महत्व

जैविक अनुसंधान में t-परीक्षण का महत्व कई कारणों से अत्यधिक है:

• दवा परीक्षण और नैदानिक अध्ययन: नई दवाओं या उपचारों के प्रभावों का मूल्यांकन करने के लिए t-परीक्षण का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक दवा के प्रभाव की तुलना एक प्लेसिबो या मौजूदा उपचार से करने के लिए, प्रायोगिक और नियंत्रण समूहों के बीच अंतर की सार्थकता का परीक्षण किया जाता है।
• कृषि अनुसंधान: विभिन्न उर्वरकों, कीटनाशकों या सिंचाई विधियों के फसल उपज पर पड़ने वाले प्रभावों का अध्ययन करने में सहायक। यह निर्धारित करने में मदद करता है कि क्या एक नई विधि पुरानी की तुलना में सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण सुधार दिखाती है।
• पारिस्थितिक अध्ययन: विभिन्न पर्यावरणीय परिस्थितियों में प्रजातियों की वृद्धि, वितरण या व्यवहार में अंतर का विश्लेषण करने के लिए। उदाहरण के लिए, प्रदूषित और गैर-प्रदूषित क्षेत्रों में एक विशेष पौधे की ऊंचाई का तुलनात्मक अध्ययन।
• आनुवंशिकी और आणविक जीव विज्ञान: विभिन्न जीनोटाइप या उपचारों के तहत जीन अभिव्यक्ति के स्तर या प्रोटीन सांद्रता में अंतर का मूल्यांकन करने के लिए।
• व्यवहारिक जीव विज्ञान: विभिन्न उत्तेजनाओं या वातावरण के तहत जानवरों के व्यवहार पैटर्न में परिवर्तन का विश्लेषण करने के लिए।
• नमूना आकार की दक्षता: छोटे नमूना आकार के साथ काम करने की क्षमता जैविक अध्ययनों में महत्वपूर्ण है जहां बड़े नमूने प्राप्त करना महंगा या अव्यावहारिक हो सकता है।

t-परीक्षण का सूत्र और चरण

t-परीक्षण के कई प्रकार होते हैं, जिनमें एक-नमूना t-परीक्षण (One-sample t-test), स्वतंत्र-नमूना t-परीक्षण (Independent-samples t-test) और युग्मित-नमूना t-परीक्षण (Paired-samples t-test) प्रमुख हैं। यहां हम स्वतंत्र-नमूना t-परीक्षण के सूत्र और चरणों का वर्णन करेंगे, जो जैविक अनुसंधान में सबसे अधिक उपयोग किया जाता है।

स्वतंत्र-नमूना t-परीक्षण का सूत्र

जब दो स्वतंत्र समूहों के माध्यों की तुलना की जाती है, तो t-परीक्षण का सूत्र निम्न प्रकार होता है:

t = (X̄₁ - X̄₂) / (sₚ * √(1/n₁ + 1/n₂))

जहाँ:

• X̄₁ = पहले समूह का माध्य
• X̄₂ = दूसरे समूह का माध्य
• sₚ = पूल्ड मानक विचलन (Pooled Standard Deviation)
• n₁ = पहले समूह का नमूना आकार
• n₂ = दूसरे समूह का नमूना आकार

पूलड मानक विचलन (sₚ) की गणना निम्न प्रकार की जाती है:

sₚ = √[((n₁-1)s₁² + (n₂-1)s₂²) / (n₁ + n₂ - 2)]

जहाँ:

• s₁² = पहले समूह का विचरण (variance)
• s₂² = दूसरे समूह का विचरण

t-परीक्षण के विभिन्न चरण (सरल डेटा का उपयोग करके)

मान लीजिए हम दो विभिन्न प्रकार के उर्वरकों (उर्वरक A और उर्वरक B) के मक्का के पौधों की ऊँचाई पर पड़ने वाले प्रभाव का अध्ययन कर रहे हैं। हमने प्रत्येक उर्वरक के लिए 10-10 पौधों का एक नमूना लिया और उनकी ऊँचाई (सेमी में) दर्ज की।

सरल डेटा:

उर्वरक A (पौधों की ऊँचाई): [15, 17, 16, 18, 14, 19, 17, 16, 15, 18]

उर्वरक B (पौधों की ऊँचाई): [12, 14, 13, 15, 11, 16, 14, 13, 12, 15]

चरण 1: परिकल्पना तैयार करना (Hypothesis Formulation)

• शून्य परिकल्पना (H₀): दोनों उर्वरकों के कारण पौधों की औसत ऊँचाई में कोई महत्वपूर्ण अंतर नहीं है। (μ₁ = μ₂)
• वैकल्पिक परिकल्पना (H₁): दोनों उर्वरकों के कारण पौधों की औसत ऊँचाई में महत्वपूर्ण अंतर है। (μ₁ ≠ μ₂)

चरण 2: सार्थकता स्तर (Significance Level) निर्धारित करना

• आमतौर पर, α = 0.05 (या 5%) का उपयोग किया जाता है। इसका मतलब है कि यदि p-मान 0.05 से कम है, तो हम शून्य परिकल्पना को अस्वीकार कर देंगे।

चरण 3: डेटा का सारांश आँकड़ा (Summary Statistics) ज्ञात करना

माप	उर्वरक A (समूह 1)	उर्वरक B (समूह 2)
नमूना आकार (n)	n₁ = 10	n₂ = 10
माध्य (X̄)	X̄₁ = (15+17+16+18+14+19+17+16+15+18)/10 = 16.5	X̄₂ = (12+14+13+15+11+16+14+13+12+15)/10 = 13.5
मानक विचलन (s)	s₁ ≈ 1.65 (गणना के बाद)	s₂ ≈ 1.58 (गणना के बाद)
विचरण (s²)	s₁² ≈ 2.72	s₂² ≈ 2.50

चरण 4: पूल्ड मानक विचलन (sₚ) की गणना करना

sₚ = √[((10-1)*2.72 + (10-1)*2.50) / (10 + 10 - 2)]

sₚ = √[(9 * 2.72 + 9 * 2.50) / 18]

sₚ = √[(24.48 + 22.50) / 18]

sₚ = √[46.98 / 18]

sₚ = √[2.61]

sₚ ≈ 1.616

चरण 5: t-मान (t-statistic) की गणना करना

t = (16.5 - 13.5) / (1.616 * √(1/10 + 1/10))

t = 3 / (1.616 * √(0.1 + 0.1))

t = 3 / (1.616 * √0.2)

t = 3 / (1.616 * 0.447)

t = 3 / 0.722

t ≈ 4.155

चरण 6: स्वतंत्रता की डिग्री (Degrees of Freedom, df) ज्ञात करना

df = n₁ + n₂ - 2 = 10 + 10 - 2 = 18

चरण 7: तालिका t-मान (Critical t-value) से तुलना और निष्कर्ष

• स्वतंत्रता की डिग्री (df) = 18 और 0.05 के सार्थकता स्तर (दो-पुच्छीय परीक्षण) के लिए, t-वितरण तालिका से महत्वपूर्ण t-मान लगभग ±2.101 है।
• हमारा परिकलित t-मान (4.155) तालिका t-मान (2.101) से अधिक है।
• निष्कर्ष: चूँकि परिकलित t-मान महत्वपूर्ण t-मान से अधिक है, हम शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करते हैं। इसका मतलब है कि उर्वरक A और उर्वरक B के कारण मक्का के पौधों की औसत ऊँचाई में सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण अंतर है। उर्वरक A ने उर्वरक B की तुलना में पौधों की ऊँचाई में उल्लेखनीय वृद्धि की है।