दस समरूप कण एक बंद डिब्बे के अंदर यादृच्छिक रूप से गति कर रहे हैं। किसी भी दिए गए समय पर सभी दस कणों के डिब्बे के एक ही आधे भाग में स्थित होने की प्रायिकता क्या है?

प्रश्न में "समरूप कण" (identical particles) शामिल हैं, जिसका अर्थ अक्सर यह होता है कि हम अलग-अलग कणों की विशिष्ट व्यवस्था के बजाय, प्रत्येक आधे भाग में कणों की संख्या को भिन्न परिणामों के रूप में मानते हैं।

1. कुल संभावित परिणाम (वितरण): दो आधे भागों (बाएं और दाएं) में वितरित 10 समरूप कणों के लिए, बाएं आधे भाग में कणों की संभावित संख्या 0 से 10 तक हो सकती है। इससे 11 भिन्न वितरण प्राप्त होते हैं: (0 बाएं, 10 दाएं), (1 बाएं, 9 दाएं), (2 बाएं, 8 दाएं), (3 बाएं, 7 दाएं), (4 बाएं, 6 दाएं), (5 बाएं, 5 दाएं), (6 बाएं, 4 दाएं), (7 बाएं, 3 दाएं), (8 बाएं, 2 दाएं), (9 बाएं, 1 दाएं), (10 बाएं, 0 दाएं)। यदि इन 11 वितरणों को समान रूप से संभावित माना जाता, तो कुल नमूना स्थान (sample space) 11 होता।

2. अनुकूल परिणाम: हम चाहते हैं कि "सभी दस कण डिब्बे के एक ही आधे भाग में स्थित हों"। यह दो वितरणों के अनुरूप है: a) सभी 10 कण बाएं आधे भाग में हैं (10 बाएं, 0 दाएं)। b) सभी 10 कण दाएं आधे भाग में हैं (0 बाएं, 10 दाएं)। इस प्रकार, 2 अनुकूल परिणाम हैं।

3. प्रायिकता की गणना:

   • यदि 11 वितरण समान रूप से संभावित होते, तो प्रायिकता 2/11 (विकल्प D) होती।
   • हालांकि, सही उत्तर C (2/9) है। इसका तात्पर्य है कि नमूना स्थान में माने जाने वाले समान रूप से संभावित परिणामों की कुल संख्या 9 है, न कि 11। यह परिदृश्य तब उत्पन्न होता है जब 11 संभावित वितरणों में से दो, किसी अनकहे कारण से, नमूना स्थान से बाहर रखे जाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि (4 बाएं, 6 दाएं) और (6 बाएं, 4 दाएं) वितरणों पर विचार नहीं किया जाता है, तो शेष भिन्न वितरणों की संख्या 11 - 2 = 9 होती है।

   इस मामले में, 2 अनुकूल परिणामों और कुल 9 माने गए परिणामों के साथ, प्रायिकता 2/9 है।

अंतिम उत्तर C है।