ट्रेन आगमन समय संभाव्यता विश्लेषण

संभाव्यता घनत्व फलन (PDF)

चूंकि ट्रेन 09:00 AM (t=0) से 09:30 AM (t=30 मिनट) के बीच यादृच्छिक समय पर आती है, और वास्तविक आगमन समय इस अंतराल के भीतर किसी भी क्षण होने की समान संभावना है, यह एक निरंतर समान वितरण का मामला है।

अंतराल की अवधि = 30 मिनट - 0 मिनट = 30 मिनट।

यदि आगमन का समय T है, तो T एक समान वितरण का पालन करता है [0, 30] जहाँ 0 मिनट 09:00 AM को दर्शाता है और 30 मिनट 09:30 AM को दर्शाता है।

निरंतर समान वितरण के लिए संभाव्यता घनत्व फलन (PDF) f(t) इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

• $f(t) = 1 / (b - a)$ , $a \le t \le b$ के लिए
• $f(t) = 0$ , अन्यथा

यहाँ, $a = 0$ (09:00 AM) और $b = 30$ (09:30 AM)।

अतः, उचित संभाव्यता घनत्व फलन (PDF) होगा:

$f(t) = 1 / (30 - 0) = 1/30$ , $0 \le t \le 30$ के लिए

$f(t) = 0$ , अन्यथा

09:13 AM के पहले ट्रेन के आने की संभावना

09:13 AM, 09:00 AM के 13 मिनट बाद का समय है। अतः, हम $P(T \le 13)$ की गणना करेंगे।

$P(T \le 13) = \int_{0}^{13} f(t) dt$

$P(T \le 13) = \int_{0}^{13} (1/30) dt$

$P(T \le 13) = [t/30]_{0}^{13}$

$P(T \le 13) = 13/30 - 0/30 = 13/30$

दशमलव में, $13/30 \approx 0.4333$ या 43.33%।

अतः, 09:13 AM के पहले ट्रेन के आने की संभावना 13/30 है।

अपेक्षित आगमन समय और आगमन समय का अंतर

निरंतर समान वितरण के लिए अपेक्षित मान (Mean) $E[T]$ इस प्रकार दिया जाता है:

$E[T] = (a + b) / 2$

यहाँ, $a = 0$ और $b = 30$ ।

$E[T] = (0 + 30) / 2 = 15$ मिनट

यह 09:00 AM के 15 मिनट बाद का समय है, यानी 09:15 AM।

आगमन समय का अंतर (variance) $Var(T)$ इस प्रकार दिया जाता है:

$Var(T) = (b - a)^2 / 12$

$Var(T) = (30 - 0)^2 / 12 = 30^2 / 12 = 900 / 12 = 75$ (वर्ग मिनट)

मानक विचलन (Standard Deviation) $\sigma = \sqrt{Var(T)} = \sqrt{75} \approx 8.66$ मिनट

तो, अपेक्षित आगमन समय 09:15 AM है और आगमन समय का अंतर 75 वर्ग मिनट है।

यह देखते हुए कि ट्रेन 09:11 AM तक नहीं आई है, अपेक्षित आगमन का समय क्या है?

यह एक सशर्त अपेक्षा (Conditional Expectation) का प्रश्न है। हमें यह ज्ञात है कि ट्रेन 09:11 AM (t=11) तक नहीं आई है। इसका मतलब है कि नया अंतराल 11 मिनट से 30 मिनट तक है।

अब, आगमन का समय T एक समान वितरण का पालन करता है [11, 30] ।

इस नए अंतराल के लिए, $a' = 11$ और $b' = 30$ ।

सशर्त अपेक्षित आगमन समय $E[T | T > 11]$ इस नए अंतराल के मध्य बिंदु होगा:

$E[T | T > 11] = (a' + b') / 2$

$E[T | T > 11] = (11 + 30) / 2 = 41 / 2 = 20.5$ मिनट

यह 09:00 AM के 20.5 मिनट बाद का समय है, यानी 09:20 AM और 30 सेकंड।

अतः, यह देखते हुए कि ट्रेन 09:11 AM तक नहीं आई है, अपेक्षित आगमन का समय 09:20 AM और 30 सेकंड है।