Model Answer
0 min readIntroduction
अनाज के कंटेनरों के वजन का सटीक आकलन करने के लिए नमूनाकरण एक महत्वपूर्ण सांख्यिकीय तकनीक है, खासकर जब पूरी आबादी का माप करना अव्यावहारिक या असंभव हो। यह हमें एक बड़े समूह से एक छोटा, प्रतिनिधिक उपसमूह चुनने की अनुमति देता है, जिसके विश्लेषण से पूरी आबादी के बारे में विश्वसनीय निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं। इस प्रश्न में, हमें 5000 कंटेनरों की सीमित आबादी के लिए और फिर एक अनंत आबादी के लिए अनाज के कंटेनर के सटीक औसत वजन का अनुमान लगाने के लिए आवश्यक नमूना आकार निर्धारित करना है। यह सुनिश्चित करना महत्वपूर्ण है कि हमारा अनुमान 99% विश्वास के साथ 2.5 ग्राम की त्रुटि के भीतर हो, यह देखते हुए कि पिछले रिकॉर्ड से वजन का परिवर्तन (मानक विचलन) 121 ग्राम है।
नमूना आकार का निर्धारण (सीमित जनसंख्या)
नमूना आकार (n) निर्धारित करने के लिए, हमें कुछ प्रमुख मापदंडों की आवश्यकता होगी:
- जनसंख्या का आकार (N) = 5000
- विश्वसनीयता स्तर = 99%
- अनुमान की त्रुटि (E) = 2.5 ग्राम
- वजन का परिवर्तन (मानक विचलन, σ) = 121 ग्राम
Z-स्कोर का निर्धारण
99% विश्वसनीयता स्तर के लिए, हमें Z-स्कोर की आवश्यकता होगी। सामान्य वितरण तालिका (संलग्न नहीं है, लेकिन सामान्यतः ज्ञात) के अनुसार, 99% विश्वसनीयता स्तर के लिए Z-स्कोर लगभग 2.576 होता है।
प्रारंभिक नमूना आकार (अनंत जनसंख्या के लिए)
सबसे पहले, हम एक अनंत जनसंख्या के लिए नमूना आकार (n₀) की गणना करते हैं। इसका सूत्र है:
$$ n_0 = (Z^2 * σ^2) / E^2 $$
- Z = 2.576
- σ = 121
- E = 2.5
मानों को सूत्र में रखने पर:
$$ n_0 = (2.576^2 * 121^2) / 2.5^2 $$
$$ n_0 = (6.635776 * 14641) / 6.25 $$
$$ n_0 = 97169.58 / 6.25 $$
$$ n_0 ≈ 15547.13 $$
इसलिए, प्रारंभिक नमूना आकार (अनंत जनसंख्या के लिए) लगभग 15548 है।
सीमित जनसंख्या के लिए नमूना आकार (n)
चूंकि हमारे पास एक सीमित जनसंख्या (N = 5000) है, हमें नमूना आकार को समायोजित करना होगा। इसके लिए सूत्र है:
$$ n = n_0 / (1 + ((n_0 - 1) / N)) $$
- n₀ = 15547.13
- N = 5000
मानों को सूत्र में रखने पर:
$$ n = 15547.13 / (1 + ((15547.13 - 1) / 5000)) $$
$$ n = 15547.13 / (1 + (15546.13 / 5000)) $$
$$ n = 15547.13 / (1 + 3.109226) $$
$$ n = 15547.13 / 4.109226 $$
$$ n ≈ 3783.56 $$
इसलिए, हमें लगभग 3784 कंटेनरों का नमूना लेने की आवश्यकता होगी।
अनंत जनसंख्या का परिदृश्य
अगर हम अनंत आबादी मान लें, तो नमूने के आकार में परिवर्तन होगा।
जैसा कि हमने ऊपर गणना की है, अनंत जनसंख्या के लिए नमूना आकार का निर्धारण सीमित जनसंख्या समायोजन कारक के बिना किया जाता है।
इस स्थिति में, आवश्यक नमूना आकार (n₀) होगा:
$$ n_0 = (Z^2 * σ^2) / E^2 $$
हमने पहले ही इसकी गणना की है:
$$ n_0 ≈ 15547.13 $$
इसलिए, यदि हम अनंत आबादी मान लें, तो नमूना आकार लगभग 15548 होगा।
परिवर्तन की व्याख्या
हाँ, नमूने के आकार में परिवर्तन होगा।
- सीमित जनसंख्या (N=5000) के लिए नमूना आकार: 3784
- अनंत जनसंख्या के लिए नमूना आकार: 15548
यह परिवर्तन काफी महत्वपूर्ण है। जब जनसंख्या सीमित होती है, खासकर जब प्रारंभिक गणना किया गया नमूना आकार (n₀) जनसंख्या के एक बड़े हिस्से का प्रतिनिधित्व करता है (जैसा कि इस मामले में 15548, 5000 से बड़ा है), तो हमें सीमित जनसंख्या सुधार कारक (Finite Population Correction Factor) का उपयोग करना होता है। यह कारक इस तथ्य को ध्यान में रखता है कि नमूनाकरण 'प्रतिस्थापन के बिना' किया जा रहा है, और जैसे-जैसे नमूना आकार जनसंख्या के आकार के करीब आता है, नमूने के अंदर की जानकारी कुल जानकारी का एक बड़ा हिस्सा बन जाती है।
सरल शब्दों में, जब हम एक छोटी और ज्ञात जनसंख्या से नमूने लेते हैं, तो हमें उसी स्तर की सटीकता और विश्वास प्राप्त करने के लिए अपेक्षाकृत कम नमूना आकार की आवश्यकता होती है, क्योंकि प्रत्येक नया नमूना शेष जनसंख्या के बारे में अधिक जानकारी प्रदान करता है। अनंत जनसंख्या के मामले में, हम यह नहीं मानते कि हमारे नमूने जनसंख्या के आकार को प्रभावित कर रहे हैं, इसलिए एक बड़े नमूना आकार की आवश्यकता होती है ताकि यह सुनिश्चित किया जा सके कि यह पूरी अनंतता का प्रतिनिधित्व करता है। इस प्रकार, अनंत आबादी मानने पर नमूना आकार में काफी वृद्धि होती है।
| पैरामीटर | मूल्य |
|---|---|
| जनसंख्या का आकार (N) | 5000 |
| मानक विचलन (σ) | 121 ग्राम |
| अनुमान की त्रुटि (E) | 2.5 ग्राम |
| विश्वसनीयता स्तर | 99% |
| Z-स्कोर (99% के लिए) | 2.576 |
| सीमित जनसंख्या के लिए नमूना आकार (n) | 3784 |
| अनंत जनसंख्या के लिए नमूना आकार (n₀) | 15548 |
Conclusion
इस विश्लेषण से यह स्पष्ट होता है कि अनाज के कंटेनरों के औसत वजन का सटीक अनुमान लगाने के लिए आवश्यक नमूना आकार जनसंख्या के आकार पर महत्वपूर्ण रूप से निर्भर करता है। 5000 की सीमित आबादी के लिए, हमें 99% विश्वास स्तर और 2.5 ग्राम की त्रुटि के साथ 3784 कंटेनरों का नमूना लेने की आवश्यकता होगी। हालांकि, यदि हम एक अनंत आबादी मानते हैं, तो यह आवश्यकता बढ़कर 15548 कंटेनर हो जाती है। यह अंतर सीमित जनसंख्या सुधार कारक के महत्व को रेखांकित करता है, जो तब लागू होता है जब नमूना आकार जनसंख्या के एक बड़े हिस्से का गठन करता है, जिससे अधिक कुशल और आर्थिक नमूनाकरण संभव होता है। इस प्रकार, नमूनाकरण योजना तैयार करते समय जनसंख्या के वास्तविक आकार का आकलन करना महत्वपूर्ण है।
Answer Length
This is a comprehensive model answer for learning purposes and may exceed the word limit. In the exam, always adhere to the prescribed word count.