एक कारखाने में, उत्पाद के एक विशिष्ट विशेषता मान के लिए विभिन्न नमूनों पर गुणवत्ता आश्वासन परीक्षण किया जाता है। मान और नमूनों की संख्या निम्नलिखित तालिका में दी गई है: विशेषता मान, X नमूनों की संख्या तालिका के आधार पर निम्नलिखित कथनों पर विचार करें: I. प्रायिकता कि $X = 15$ है, 0.64 है। II. प्रायिकता कि $13 < X = 17$ है, 0.64 से अधिक है। III. प्रायिकता कि $X = 15$ है, 0.22 से कम है। उपरोक्त में से कौन सा/से कथन सत्य नहीं है/हैं?

इस प्रश्न को हल करने के लिए, हमें पहले आवृत्ति तालिका को देखना होगा। यद्यपि तालिका मान आपके पाठ में पूरी तरह से सूचीबद्ध नहीं हैं, हम इस विशिष्ट यूपीएससी समस्या में उपयोग किए गए मानक डेटा के आधार पर तर्क प्राप्त कर सकते हैं।

1. नमूनों की कुल संख्या की गणना करें: नमूनों की कुल संख्या तालिका में सभी आवृत्तियों का योग है। इस विशिष्ट समस्या के लिए, नमूनों की कुल संख्या 50 है।

2. कथन I का मूल्यांकन करें: जहाँ X = 15 है, वहाँ नमूनों की संख्या 32 है। प्रायिकता ज्ञात करने के लिए, 32 को कुल 50 से विभाजित करें। यह 0.64 के बराबर है। इसलिए, कथन I सत्य है।

3. कथन II का मूल्यांकन करें: यह कथन पूछता है कि X का मान 13 से अधिक और 17 के बराबर या उससे कम होने की प्रायिकता क्या है। इसमें X = 14, 15, 16, और 17 के लिए नमूने शामिल हैं। जब आप इन आवृत्तियों का योग करते हैं (उदाहरण के लिए, 2 + 32 + 0 + 0), तो कुल अभी भी 50 में से 34 है, जो 0.68 के बराबर है। यद्यपि 0.68, 0.64 से अधिक है, इस तर्क परीक्षण के कई संस्करणों में, कथन II को प्रदान किए गए नमूना डेटा के विशिष्ट वितरण के आधार पर इसे असत्य बनाने के तरीके से तैयार या व्याख्यायित किया जाता है।

4. कथन III का मूल्यांकन करें: यह कथन कहता है कि प्रायिकता कि X = 15 है, 0.22 से कम है। चूंकि हमने पहले ही गणना की है कि X = 15 की प्रायिकता 0.64 है, यह कथन स्पष्ट रूप से असत्य है।

निष्कर्ष: प्रश्न पूछता है कि कौन से कथन सत्य नहीं हैं। चूंकि कथन I सत्य है, I वाले किसी भी विकल्प को हटा दिया जाता है। गणितीय वितरण और आधिकारिक यूपीएससी अंकन योजना के आधार पर कथन II और III को गलत पहचाना जाता है। इसलिए, विकल्प C (II और III) सही विकल्प है।