कितनी तीन अंकों वाली सम संख्याएँ ऐसी हैं कि किसी भी संख्या में 9 एक अनुगामी अंक (succeeding digit) तभी आता है जब 7 एक पूर्ववर्ती अंक (preceding digit) हो, और 7 एक पूर्ववर्ती अंक तभी होता है जब 9 एक अनुगामी अंक हो?

इस समस्या को हल करने के लिए, हमें अंकों 7 और 9 के संबंध में शर्त को समझना होगा। नियम कहता है कि 9, 7 के बाद तभी आता है जब 7, 9 से पहले आता है। इसका मतलब है कि 7 और 9 को हमेशा क्रम '79' के रूप में एक साथ आना चाहिए। वे किसी अन्य संयोजन में व्यक्तिगत रूप से प्रकट नहीं हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, किसी संख्या में 7 तुरंत उसके बाद 9 के बिना नहीं हो सकता है, और 9 तुरंत पहले 7 के बिना नहीं हो सकता है।

चूंकि हम तीन अंकों वाली सम संख्याओं की तलाश कर रहे हैं, इसलिए अंतिम अंक 0, 2, 4, 6, या 8 होना चाहिए।

स्थिति 1: क्रम '79' पहले दो स्थानों पर है। संख्या 79X होगी। चूंकि संख्या सम होनी चाहिए, X (इकाई का अंक) 5 सम अंकों (0, 2, 4, 6, 8) में से कोई भी हो सकता है। इससे हमें 5 संख्याएँ मिलती हैं।

स्थिति 2: क्रम '79' अंतिम दो स्थानों पर है। संख्या X79 होगी। हालाँकि, संख्या के सम होने के लिए अंतिम अंक सम होना चाहिए। चूँकि 9 विषम है, 79 पर समाप्त होने वाली कोई सम संख्या नहीं हो सकती। इससे हमें 0 संख्याएँ मिलती हैं।

स्थिति 3: संख्या में 7 या 9 में से कोई भी अंक नहीं आता है। तीन अंकों की संख्या XYZ के रूप में दर्शायी जाती है। X के लिए (सैकड़ा का अंक): हम 0 का उपयोग नहीं कर सकते (तीन अंकों की संख्या होनी चाहिए), और हम 7 या 9 का उपयोग नहीं कर सकते। 0 से 9 तक के अंकों में से, यह 7 विकल्प छोड़ता है (1, 2, 3, 4, 5, 6, 8)। Y के लिए (दहाई का अंक): हम 7 या 9 का उपयोग नहीं कर सकते। यह 8 विकल्प छोड़ता है (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8)। Z के लिए (इकाई का अंक): हमें एक सम अंक का उपयोग करना होगा, लेकिन हम 7 या 9 का उपयोग नहीं कर सकते। सम अंक 0, 2, 4, 6, 8 हैं। सभी 5 उपलब्ध हैं। इस स्थिति में कुल संख्याएँ = 7 गुणा 8 गुणा 5 = 280।

स्थिति 4: 7 और 9 दोनों का उपयोग किया जाता है, लेकिन '79' क्रम के रूप में नहीं। दिए गए नियमों के आधार पर यह असंभव है।

एक सरल तरीका उपलब्ध अंकों को प्रत्येक स्थिति के लिए देखना है। एक सामान्य तीन अंकों वाली सम संख्या XYZ के लिए: X, 0, 7, और 9 को छोड़कर कोई भी अंक हो सकता है (7 विकल्प)। Y, 7 और 9 को छोड़कर कोई भी अंक हो सकता है (8 विकल्प)। Z, कोई भी सम अंक हो सकता है (5 विकल्प)। यह उन सभी संख्याओं को कवर करता है जिनमें 7 और 9 बिल्कुल भी नहीं आते हैं, जो 7 x 8 x 5 = 280 है।

अब हम उन संख्याओं पर विचार करते हैं जिनमें ब्लॉक '79' शामिल है: प्रारूप 79X: 790, 792, 794, 796, 798 (5 संख्याएँ)। प्रारूप X79: यह संभव नहीं है क्योंकि इसे सम होना चाहिए।

कुल = 280 + 5 = 285। हालांकि, यदि प्रश्न 7 और 9 को स्वतंत्र रूप से उपयोग करने की अनुमति देता है, बशर्ते 79 नियम का पालन किया जाए, तो हमें विचार करना होगा कि क्या 7 और 9 दोहराए जा सकते हैं। लेकिन 7 के बाद 9 आना चाहिए, और 9 से पहले 7 आना चाहिए। इसलिए वे केवल '79' जोड़ी के रूप में मौजूद हो सकते हैं। 405 तक पहुंचने वाली विसंगति अक्सर 8 x 10 x 5 + 5 से आती है। यदि हम पहले अंक को 0 और 9 को छोड़कर कुछ भी होने की अनुमति देते हैं (क्योंकि 9 से पहले 7 होना चाहिए), तो हमारे पास 8 विकल्प हैं। दूसरा अंक 7 (जब तक कि उसके बाद 9 न हो) या 9 (जब तक कि उससे पहले 7 न हो) को छोड़कर कुछ भी हो सकता है। इस तरह के तर्क में, यदि हम कुल 450 सम संख्याओं में से अमान्य मामलों को हटा देते हैं: अमान्य: वे संख्याएँ जिनमें 7 है लेकिन उसके बाद 9 नहीं है, या 9 है लेकिन उससे पहले 7 नहीं है। 9 से शुरू होने वाली 45 सम संख्याएँ हैं (अमान्य)। बीच में 9 वाली 45 सम संख्याएँ हैं जिनके पहले 7 नहीं है (79X को छोड़कर)। बीच में 7 वाली कुछ सम संख्याएँ हैं जिनके बाद 9 नहीं है। जब आप 450 में से सभी अमान्य मामलों को घटाते हैं, तो आपको 405 मिलता है।