छह खिलाड़ियों को एक पंक्ति में कितने विभिन्न तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है ताकि उनमें से दो, अजीत और मुखर्जी, कभी भी एक साथ न हों?

अजीत और मुखर्जी के कभी भी एक साथ न होने के तरीकों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम उन तरीकों की संख्या को कुल संभावित व्यवस्थाओं में से घटाते हैं जिनमें वे एक साथ हैं।

चरण 1: 6 खिलाड़ियों की कुल व्यवस्थाएँ 6 खिलाड़ियों को व्यवस्थित करने के कुल तरीके 6 फैक्टोरियल हैं, जो 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 है।

चरण 2: व्यवस्थाएँ जहाँ अजीत और मुखर्जी एक साथ हैं अजीत और मुखर्जी को एक इकाई या ब्लॉक के रूप में मानें। अब हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए 5 इकाइयाँ हैं (ब्लॉक + 4 अन्य खिलाड़ी)। इन 5 इकाइयों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या 5 फैक्टोरियल है, जो 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 है। उस ब्लॉक के भीतर, अजीत और मुखर्जी 2 तरीकों से स्थान बदल सकते हैं (अजीत-मुखर्जी या मुखर्जी-अजीत)। अतः, एक साथ होने की कुल व्यवस्थाएँ = 120 x 2 = 240।

चरण 3: व्यवस्थाएँ जहाँ वे कभी एक साथ नहीं होते हैं एक साथ होने वाली व्यवस्थाओं को कुल व्यवस्थाओं में से घटाएँ: 720 - 240 = 480।

इसलिए, ऐसे 480 विभिन्न तरीके हैं जिनसे खिलाड़ियों को व्यवस्थित किया जा सकता है ताकि अजीत और मुखर्जी कभी एक साथ न हों। सही विकल्प D है।