एक मिश्रित युगल टेनिस खेल दो टीमों के बीच खेला जाना है (प्रत्येक टीम में एक पुरुष और एक महिला शामिल है)। 4 विवाहित जोड़े हैं। किसी भी टीम में पति और पत्नी एक साथ नहीं होने चाहिए। अधिकतम कितने खेल खेले जा सकते हैं?

खेलों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हमें दो पुरुषों और दो महिलाओं का चयन करना होगा ताकि पति और पत्नी एक ही टीम में न हों।

चरण 1: 4 में से 2 पुरुषों का चयन करें। यह 6 तरीकों से किया जा सकता है (4C2)। मान लीजिए चयनित पुरुष M1 और M2 हैं।

चरण 2: 4 में से 2 महिलाओं का चयन करें। यह भी 6 तरीकों से किया जा सकता है (4C2)।

चरण 3: 2 पुरुषों और 2 महिलाओं के कुल संयोजन की गणना करें। कुल संयोजन = 6 गुणा 6 = 36।

चरण 4: प्रत्येक संयोजन के लिए टीम निर्माण निर्धारित करें। किसी भी चयनित समूह (उदाहरण के लिए, M1, M2, W1, W2) के लिए, दो टीमें बनाने के 2 संभावित तरीके हैं: केस A: (M1, W1) बनाम (M2, W2) केस B: (M1, W2) बनाम (M2, W1)

इससे कुल 36 गुणा 2 = 72 संभावित खेल प्राप्त होते हैं।

चरण 5: उन खेलों को घटाएं जहां पति और पत्नी एक ही टीम में हैं। एक संघर्ष तब होता है जब चयनित समूह में एक विवाहित जोड़ा शामिल होता है (उदाहरण के लिए, M1 और W1 विवाहित हैं)।

1. 4 में से 2 जोड़े चुनने के तरीके 6 हैं (4C2)। इन मामलों में, दोनों टीमों में एक विवाहित जोड़ा होगा, जो निषिद्ध है। (6 समूहों गुणा 1 वैध खेल प्रति समूह = 6 खेल हटा दिए गए)।
2. ठीक एक विवाहित जोड़े वाले समूह को चुनने के तरीके: 1 जोड़ा चुनें (4 तरीके)। शेष 3 में से 1 और पुरुष चुनें (3 तरीके)। शेष 2 में से 1 और महिला चुनें (2 तरीके, क्योंकि उसका पति पहले ही चुना जा चुका है)। ठीक एक जोड़े वाले कुल समूह = 4 गुणा 3 गुणा 2 = 24। इन 24 समूहों में से प्रत्येक में, 2 संभावित खेलों में से केवल 1 ही वैध है। (24 खेल हटा दिए गए)।

कुल वैध खेल = 72 माइनस 6 माइनस 24 = 42।

वैकल्पिक रूप से, अधिक सरलता से: 2 पुरुष चुनने के कुल तरीके: 4C2 = 6। पुरुषों की प्रत्येक जोड़ी (जैसे, M1 और M2) के लिए, पहले पुरुष (M1) को 3 महिलाओं में से किसी एक के साथ जोड़ा जा सकता है जो उसकी पत्नी नहीं है। दूसरे पुरुष (M2) को तब शेष 2 महिलाओं में से किसी एक के साथ जोड़ा जा सकता है जो उसकी पत्नी नहीं है। कुल खेल = (6 गुणा 3 गुणा 2) को 2 से विभाजित किया गया (एक ही मैच की दोहरी गणना से बचने के लिए) = 18 मिश्रित युगल के लिए गलत तर्क है।

सही तर्क: 2 पुरुष चुनें = 6 तरीके। 2 पुरुषों (M1, M2) की प्रत्येक जोड़ी के लिए, 2 महिलाओं (W1, W2) को चुनें = 6 तरीके। कुल व्यवस्था = 36। प्रत्येक व्यवस्था 2 खेल प्रकारों की अनुमति देती है = 72 खेल। उन खेलों को घटाएं जहां M1-W1 या M2-W2 या M1-W2 या M2-W1 जोड़े हैं। वैध युग्मों की व्यवस्थित गणना द्वारा: पुरुष 1, 3 महिलाओं को चुन सकता है (उसकी पत्नी को छोड़कर)। पुरुष 2 तब शेष 3 महिलाओं में से चुन सकता है, लेकिन उसे अपनी पत्नी से बचना होगा। इस चयन तर्क का सभी संयोजनों में पालन करने पर 42 अद्वितीय खेल प्राप्त होते हैं।