विभिन्न रंगों की पाँच गेंदों को तीन अलग-अलग बक्सों में इस प्रकार रखना है कि प्रत्येक बक्से में कम से कम एक गेंद हो। यह कितने अधिकतम विभिन्न तरीकों से किया जा सकता है?

5 भिन्न गेंदों को 3 भिन्न बक्सों में इस प्रकार वितरित करने के तरीकों की संख्या ज्ञात करने के लिए कि प्रत्येक बक्से में कम से कम एक गेंद हो, हम निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं: 1. गेंदों के संभावित वितरण की पहचान करें: चूंकि प्रत्येक बक्से में कम से कम एक गेंद होनी चाहिए, इसलिए दो संभावित वितरण हैं: स्थिति 1: एक बक्से में 3 गेंदें, दूसरे में 1, और तीसरे में 1 (3, 1, 1)। स्थिति 2: एक बक्से में 2 गेंदें, दूसरे में 2, और तीसरे में 1 (2, 2, 1)। 2. स्थिति 1 (3, 1, 1) के लिए गणना करें: सबसे पहले, पहले बक्से के लिए 5 में से 3 गेंदें चुनें: 5C3 = 10 तरीके। फिर, शेष 2 में से 1 गेंद दूसरे बक्से के लिए चुनें: 2C1 = 2 तरीके। अंतिम गेंद अंतिम बक्से में जाती है: 1C1 = 1 तरीका। इनका गुणा करें: 10 x 2 x 1 = 20 तरीके। चूंकि 3 गेंदें 3 बक्सों में से किसी में भी हो सकती हैं, इसलिए 3 से गुणा करें: 20 x 3 = 60 तरीके। 3. स्थिति 2 (2, 2, 1) के लिए गणना करें: सबसे पहले, पहले बक्से के लिए 5 में से 2 गेंदें चुनें: 5C2 = 10 तरीके। फिर, शेष 3 में से 2 गेंदें दूसरे बक्से के लिए चुनें: 3C2 = 3 तरीके। अंतिम गेंद अंतिम बक्से में जाती है: 1C1 = 1 तरीका। इनका गुणा करें: 10 x 3 x 1 = 30 तरीके। चूंकि अकेली गेंद 3 बक्सों में से किसी में भी हो सकती है, इसलिए 3 से गुणा करें: 30 x 3 = 90 तरीके। 4. कुल तरीके: दोनों स्थितियों के परिणामों को जोड़ें: 60 + 90 = 150 तरीके। अतः, सही विकल्प C है।