1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 से कितने तीन-अंकीय संख्याएँ उत्पन्न की जा सकती हैं, जिनमें अंक आरोही क्रम में हों?

इस समस्या को हल करने के लिए, हमें नौ उपलब्ध अंकों के समुच्चय में से तीन भिन्न अंकों का चयन करने की आवश्यकता है।

मुख्य बात यह है कि चुने गए किन्हीं भी तीन भिन्न अंकों के लिए, उन्हें आरोही क्रम में व्यवस्थित करने का केवल एक ही संभावित तरीका है। उदाहरण के लिए, यदि हम 5, 2, और 8 चुनते हैं, तो एकमात्र मान्य संख्या 258 होगी। चूंकि क्रम आरोही नियम द्वारा निश्चित है, हमें क्रमपरिवर्तन (permutations) के बारे में चिंता करने की आवश्यकता नहीं है।

इसलिए, ऐसी तीन अंकीय संख्याओं की संख्या 9 में से 3 अंकों को चुनने के तरीकों की संख्या के बराबर है, जिसकी गणना संयोजन सूत्र (combinations formula) 9C3 का उपयोग करके की जाती है।

9C3 बराबर है 9 गुणा 8 गुणा 7, जिसे 3 गुणा 2 गुणा 1 से विभाजित किया जाता है। 9 गुणा 8 गुणा 7 बराबर 504 है। 3 गुणा 2 गुणा 1 बराबर 6 है। 504 को 6 से विभाजित करने पर 84 प्राप्त होता है।

सही उत्तर 84 है।