चार मित्र A, B, C और D को एक पुल पार करना है। एक बार में अधिकतम दो व्यक्ति ही इसे पार कर सकते हैं। रात का समय है और उनके पास केवल एक लैंप है। रास्ता देखने के लिए पुल पार करने वाले व्यक्तियों को लैंप साथ ले जाना होगा। एक जोड़ा धीमी गति वाले व्यक्ति की गति से साथ-साथ चलेगा। पुल पार करने के बाद, जोड़े में तेज गति वाला व्यक्ति प्रत्येक बार लैंप के साथ वापस आकर समूह के किसी अन्य व्यक्ति के साथ जाएगा। अंत में, लैंप को मूल स्थान पर वापस लाना होगा और लैंप वापस लाने वाले व्यक्ति को लैंप के बिना फिर से पुल पार करना होगा। पुल पार करने के लिए, उन्हें लगने वाला समय इस प्रकार है: A: 1 मिनट, B: 2 मिनट, C: 7 मिनट और D: 10 मिनट। सभी मित्रों को पुल पार करने के लिए आवश्यक कुल न्यूनतम समय क्या है?

यह समस्या क्लासिक ब्रिज क्रॉसिंग पहेली का एक रूपांतर है, जिसमें लैंप कौन वापस ला सकता है, इसके संबंध में एक महत्वपूर्ण अतिरिक्त नियम और एक विशिष्ट अंतिम स्थिति की आवश्यकता है। मित्रों के पार जाने के समय को A=1, B=2, C=7, D=10 मान लीजिए। लक्ष्य यह है कि सभी मित्र पुल पार कर लें (साइड 2 पर पहुंचें), और लैंप को मूल स्थान (साइड 1) पर वापस लाया जाना चाहिए, जिसमें लैंप वापस लाने वाला व्यक्ति भी साइड 2 पर समाप्त हो। मुख्य नियम: 1. एक बार में अधिकतम दो व्यक्ति पार कर सकते हैं। 2. उन्हें लैंप ले जाना होगा। 3. एक जोड़ा धीमी गति वाले व्यक्ति की गति से चलता है। 4. महत्वपूर्ण नियम: "पुल पार करने के बाद, जोड़े में तेज गति वाला व्यक्ति प्रत्येक बार लैंप के साथ वापस आकर समूह के किसी अन्य व्यक्ति के साथ जाएगा।" इसका मतलब है कि *अभी-अभी पार किए गए जोड़े* में से तेज गति वाले व्यक्ति को वापस आना होगा, और यह वापसी शेष लोगों को लेने के लिए है। 5. अंतिम शर्त: "अंत में, लैंप को मूल स्थान पर वापस लाया जाना होगा और लैंप वापस लाने वाले व्यक्ति को लैंप के बिना फिर से पुल पार करना होगा।" आइए सभी शर्तों को पूरा करने वाले इष्टतम पथ का पता लगाएं: चरण-दर-चरण प्रक्रिया: 1. A और B साइड 1 से साइड 2 की ओर पार करते हैं। लिया गया समय = अधिकतम(A, B) = अधिकतम(1, 2) = 2 मिनट। (साइड 1: C, D; साइड 2: A, B, लैंप) 2. नियम 4 के अनुसार, A (A,B जोड़े में तेज गति वाला व्यक्ति) लैंप के साथ साइड 1 पर वापस आता है। लिया गया समय = 1 मिनट। (साइड 1: A, C, D, लैंप; साइड 2: B) 3. A और C साइड 1 से साइड 2 की ओर पार करते हैं। लिया गया समय = अधिकतम(A, C) = अधिकतम(1, 7) = 7 मिनट। (साइड 1: D; साइड 2: A, B, C, लैंप) 4. नियम 4 के अनुसार, A (A,C जोड़े में तेज गति वाला व्यक्ति) लैंप के साथ साइड 1 पर वापस आता है। लिया गया समय = 1 मिनट। (साइड 1: A, D, लैंप; साइड 2: B, C) 5. A और D साइड 1 से साइड 2 की ओर पार करते हैं। लिया गया समय = अधिकतम(A, D) = अधिकतम(1, 10) = 10 मिनट। (साइड 1: ; साइड 2: A, B, C, D, लैंप) इस बिंदु पर, चारों मित्र साइड 2 पर हैं, और लैंप भी साइड 2 पर है। अब तक कुल समय = 2 + 1 + 7 + 1 + 10 = 21 मिनट। अब, हमें अंतिम शर्त (नियम 5) को पूरा करना होगा: 6. लैंप को मूल स्थान (साइड 1) पर वापस लाया जाना है। इसे करने के लिए सबसे तेज व्यक्ति A है। A लैंप के साथ वापस आता है। लिया गया समय = 1 मिनट। (साइड 1: A, लैंप; साइड 2: B, C, D) 7. लैंप वापस लाने वाले व्यक्ति (A) को लैंप के बिना अन्य मित्रों से जुड़ने के लिए फिर से पुल पार करना होगा। लिया गया समय = 1 मिनट। (साइड 1: लैंप; साइड 2: A, B, C, D) सभी मित्र अब साइड 2 पर हैं, और लैंप साइड 1 पर है। कुल न्यूनतम समय = 21 (प्रारंभिक पारगमन के लिए) + 1 (लैंप वापसी) + 1 (अंतिम पारगमन) = 23 मिनट। अन्य विकल्प गलत क्यों हैं (या अन्य रणनीतियाँ इष्टतम क्यों नहीं हैं): * मूल ब्रिज समस्या (जहां लैंप साइड 2 पर रह सकता है) के लिए एक सामान्य रणनीति दो सबसे तेज (A,B) को भेजना है, A वापस आता है, फिर दो सबसे धीमे (C,D) को भेजना है, B वापस आता है, फिर A,B फिर से पार करते हैं। इसमें 2+1+10+2+2 = 17 मिनट लगते हैं। हालांकि, यह रणनीति नियम 4 के कारण यहां अमान्य है। C और D के पार जाने के बाद, C (C,D) जोड़े में तेज गति वाला व्यक्ति है, इसलिए C (न कि B) को वापस आना होगा। यदि C वापस आता है, तो यह 2 मिनट के बजाय 7 मिनट जोड़ता है, जिससे यह लंबा हो जाता है। * यदि हम 17 मिनट की रणनीति को लागू करने का प्रयास करते हैं और फिर अंतिम चरण जोड़ते हैं: 1. (A,B) पार करते हैं (2)। A वापस आता है (1)। 2. (C,D) पार करते हैं (10)। 3. नियम 4 के अनुसार, C (C,D में तेज) को वापस आना होगा। C वापस आता है (7)। 4. (A,C) पार करते हैं (7) ताकि सभी पार हो जाएं। कुल = 2+1+10+7+7 = 27 मिनट (अंतिम चरणों से पहले), जो बहुत लंबा है। * 23 मिनट की ओर ले जाने वाली रणनीति सबसे कुशल है जो नियम 4 का सख्ती से पालन करती है। अंतिम उत्तर 23 मिनट है। अंतिम उत्तर A) 23 मिनट है।